CHAPITRE IX. toS

763. Supposas qu'à cause de la diminution très rapide des angles €û\ cfy (»'"y etc., la difTérence i -^cos û»'''soit n^ligeable, on aura en même temps a^ec une exactitude suffisante i^^'ss i , ces ^''' as i , ce qui donnera

Dans la même hypothèse, on doit regarder comme négligeable la quantité

(i — /'")% de sorte qu'on pourra faire t — a/^'-f- r^'' = o , ou -y ■— i =: -ji t la valeur de F à deux termes seulement , savoir :

Supposons log r'r^'* = — £, t sera presque toujours une quantité fort petite; cette quantité étant donnée, on en tirera /^• = 6 , ensuite

Pxs 2e^— I =35 ^Mi [, Çi ^er-^Y] ; donc log P==ai — m(i ^€r-^tY—{m{i —e-^^Y-^^ m{i — e^-M/ )» etc. ;

et en dëvdoppant jusqu'aux fi seulement ,

log P = 2< — M<*+ Wfi .

Cette formule sera très commode pour calculer le second terme Pc sin ^ de la valeur de E^ , si toutefois les quantités de l'ordre t^ peuvent être négligées - . /, ■/■ ^ .; -

763. Si* l'on veut pousser l'approximation plus loin, et qu'on regarde

seulement comme négligeable la quantité 1— Cos'a'% ainsi que i— c*% la valeur de F deviendra

et parce que dans le même cas on peut regarder comme nulle la quan-* tité ( 1 — v^"f^ ce .qui donne pi— 1 = tç , on aura plus simplement

Pour faciliter le calcul de celte formule , on pourra profiter de la réduction indiquée dans l'article précédent, en Impliquant à la quantité

P'' =s T^ — I ; Oïl aura ainsi

T. II. »4

io6 CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES,

alors le terme P^ sin ^ • se réduit — ^ . * * — ^ sin <p j et parce que, ;•' =

e' oos ù/is9i 'V. ^.î *'° ?, an aur» sinij^nieBt Vcmi^sma^c .J?^ sm^-^t^cmi^f

ce qui dispensera de calculer cos e/. De plus^ comme c sin 9;=:sin6sin9 = 7Cos(6— ç) — ïCos(fl-f-^), on Toit que dans beaucoup de cas, c^tte quantité pourra se trouver inustédiatement par la Table des sinit^ ni^urels.

Nous observerons, enfin, que la valeur de P peut aussi s'exprimer ^ar cette série convergente :

au moyen de laquelle l'approximation^eut être poussée aussi loin qu'on

voudra. Les deux premiers ternies se réduisent à -7 -*- i ; quant aux sui-

vans qui décroissent rapidement , îTs sont faciles à calculer par les formules log r = — ^, log (i — r) :t= log (RfO — ï ' + T4^t\

Pour l'usage de ces nouvelles fomulei^ il Ibut pouvoir onkuler avoir ui> degré suffisant de précision les log-cosinus des angles eà , i»'y ûJ\ etc», qui décroissent très rapidement. Or on a pour cet objet les formules

iQgcQs # ss; — N^^* — NfcO)^ — N,/»« — N4a* ~ etc.,

log sin «= logûi — iN,»* — ^N.«^ — ^NsA>* — 5g5N4a»*-*etc.,.

où W diviseurs 3, i5 , 63^ a55, eto. ^ représentent a* — i ,. i^* — 1 y :»• -f i, 2* — 1 , etc.

Lorsque l'arc a» ne surpassa pas S* , si on n'a pas besoin de plus de quatorze décimales, on aura ayeo une exactiltide suffisante les valeurs logariAbmicpiies à»^ co^Sèfimx^j comme il siii :

Ni. . ; . 9.33675 43c56 37 N^. . . . 7.98457, *8or

764* Exemple I. Supposons qu'on vewlle calculer avec toute l'exactitude, quci comportent des Tables k (jualoraa décimalea, les ibnctions F(p, Ëp^ pour le module c;;;? siu 81^ et l'amplittiida p ^=^ 75^.

Il faut d'abord tirer de la Table VI l'échelle des modules et log^ K , comme il suit :