CHAPITRE XIŸ

820. Ayant expliqué comment les diflicultés de calcul ont été vaineues daos la construclion de la seconde partie de la Table, pour les angles du module plus grands que 45°, et surtout pour ceux qui approchent de go°, il ne nous reste que peu de choses à dire sur le calcal de la première partie de la Table, depuis ê— 0°, jusqu'à 0 = 45°. Dans celle-ci, l'application de la méthode générale s’est faite sans aucune modification , dans toute l’étendue de chaque table particulière, même pour les valeurs de l'amplitude ®, très rapprochées de 90°. On est d’ailleurs parvenu à abréger notablement les calculs pour les petites valeurs de 8, en détev: minant l’auxihatre de chaque fonction par une série trés convergente, Pour cet effet, soit sm° 8 sin w = r, l’auxiliaire pour la fonction F sera

Pæairs —r) a+} ar + ar + LÉ ar + etc.

Le premier terme de celte suite & = nn æ= 0,07745 320252 ; si l'on dé-

signe les termes suivans par (1), (2), (3), etc., en sorte qu’on ait Pæme+(i)+(2)#+ (6) +44);

ces termes se déduiront facilement les mns des autrés, ét ôn aura en ième temps l’'auxiliaire pour la fonction E, savoir :

pæa(i—r)æma—()—;3()+3()—3(4); or, sans passer le térme (4), on obliendra, par cés suites, dix déchnhles exactes, pour toutes les valeurs de ®, si 8 n’est que de quelques degrés, et pour ün nombre.plus où moitis grand de valeurs de ®, lorsque 8 sera plus grand.

821. Ces calculs étant fails constamment avec dix décimales, le résultat des 45 premières opéralions, qui donne les fonctions E et F pour l’amplitude @ = 45°, s’est toujours-trouvé d’accord avec la Table VIII, soit exactement, soit à la différence d’un très petit nombre d’unités décimales du 10° ordre, nombre qui est allé rarement jusqu'a 4 et qui n’a pas le plus souvent passé 2. (On ne parle pas ici des ‘grandes erreurs qui sont presque inévitables dans de si longs calculs, et que l'on découvre immédiatement par la comparaison avec la Table VIIL). Pour faire disparaître cette différence, voici le moyen qu’on a employé : supposons qu’il y ait trois unités décimales du 10° ordre à ajouter à la fonction trouvée par le calcul, pour la faire coïncider avec le résultat de la Table VII; il faudra examiner la dernière série des différences ( c’est ordinairement la qua-

trième ), et noter les endroits où elles sont le plus irrégulières. On choisira trois de ces endroits, et on verra quelles sont les différences correspondantes du 1° ordre qui, étant augmentées chacune d’une unité, rendraient plus uniforme la dernière série des différences. Un peu d’exercice suffit pour apercevoir d’un coup-d’œil celles des différences premières qui satisfont le mieux à cette condition. Corrigeant donc la série des fonctions, d’après celle des différences premières , on aura une nouvelle série de 45 nombres dont les différences marcheront d’une manière plus régulière, et dont le dernier terme s’accordera entièrement avec le résultat exact contenu dans la Table VIII. La même marche et le même mode de correction ont été également employés dans le calcul de la seconde partie de la Table, depuis 9 = 45° jusqu’à @ — 90°.

822. L'expérience nous ayant ainsi dirigé dans le calcul des difiérentes Tables particulières qui ont servi à composer la Table IX, nous avons pensé que tous les résultats devaient être exacts, à une ou deux unités près du dernier chiffre décimal. C’est pourquoi nous avons conservé dix décimales dans toute l'étendue de la première partie de la Table IX, depuis Ê = 0, jusqu’à 0— 45°. On aurait pu conserver la dixième décimale bien loin encore au-delà de cette limite ; mais les calculs de la seconde partie étaient déjà faits, dans le dessein d’obtenir neuf décimales exactes seulement , et d’ailleurs les grandes variations qu’éprouvent les fonctions E et F, lorsque l'amplitude et l'angle du module s’'approchent tous les deux de 90°, ne permettent pas de prétendre à l'exactitude de la dixième décimale dans leur détermination, à moins de calculer les auxiliaires avec uue ou deux décimales de plus, ce qui aurait augmenté considérablement

la longueur et la difficulté du travail.