CHAPITRE IL

Méthodes générales pour former une Table des valeurs de l'intégrale U = fude.

688. Nous supposerons que 4 est une fonction donnée de Ja variable ®, et que celte fonction est telle qu’en faisant varier @ d’une quantité constante &, les différences successives de la fonction & diminuent continuellement et finissent par être entièrement négligeables. On peut toujours prendre æ assez pelil pour que cette supposition soit admissible, quelle que soit la fonction #, pourvu qu’elle reste toujours finie dans toute l’étendue des valeurs de @ que l’on considère; et la différence æ pourra être fixée dans chaque cas particulier, suivant le degré d’approximation avec lequel on veut exprimer les fonctions U.

Nous désignerons par U, U', U”, etce., les fonctions qui répondent aux variables croissantes ®, @+æ, @—+ 24, etc.; et semblablement nous désignerons par U, U°, U®, etc., les fonctions qui répondent aux variables décroissantes ®, ®—æ, g—2æ, etc. Cela posé, la Table qu'il s’agit de construire pour la fonction U et ses différences successives, pourra être représentée, daus l’une quelconque de ses parties, comme il suit :

Variable. | Fonction. | Diff, I, Il. IL 1.

p— 3m Ut | gUve | asie | Jouer | jiUos g— 22 | Uw |aUc | gUe | giUe | JiUeo p— «ll Ue {ave |æu | Sue | ue

o U AU [eu | AU |

e+ «| v' au |æu | AU’ | AU’ @ Hazl U* [ou ur | su" | au e + 3e U"” |au" | uv” | su” | au”

La première colonne contient les valeurs de ®, formant une progression arithmétique dont la différence est æ; la seconde colonne est celle des valeurs correspondantes des fonctions U. On a placé sur la même ligne que ® et U, les différences successives JU, d'U, d''U, etc.; et par cette disposition, chaque ligne sert à former la ligne inférieure, au moyen de la loi connue U'= U + JU, dU'= d'U + d'U, MU! = JU + JU, etc.

Il s’agit maintenant de faire voir comment, étant donnée la fonction &, on peut calculer les différences successives qui servent à former la Table des valeurs de U. Pour cela nous ferons usage d’un algorithme qui a l'avantage de conduire rapidement aux résultats que nous voulons exposer, et qui a surtout celui d’en faire connaître la loi de la manière la plus “pie et la plus générale. Cette notation, au reste, qui ne s'applique qw aux sommes et aux différences, considérées dans leurs combinaisons linéaires seulement, est fondée sur les mêmes principes que celle qui a été indiquée par Lagrange dans les Mémoires de Berlin, ann. 1772, et qui a été depuis reproduite sous beaucoup d’autres formes par différens auteurs.