CHAPITRE MI

de ad, on convienne que chaque terme Uæ“d* sera remplacé par æ*. . Daus celte hypothèse, on aura successivement U'= Uesd, L'= U'ed, U"asU'esd, etc; de là résultent les différences premières, JU =U(e“d— 1), d'U' = U'(e“d— 1), d'U"= U"(exl— 1), eic.; celles-ci donnent les différences secondes, d'U AU (et 1) =U(ed— 1}, d'U'= JU'(e#4— 1)=U(et—i}, d'U"= J'U"(esd 1) = Ut 1}, etc, ; et en général on aura d'U= U (ed 1}.

Au moyen de cette formule, la différence finie d’un ordre quelconque de la fonction U peut s’exprimer par les coefficiens difiérentiels de cette même fonction. En effel si on suppose (“—1) = 2" (1+A'x + Az + A‘ + etc), on aura en même temps

ñ 0) d'U 1e +5 d'AU d'U= a". Tr + A'a PSE

Avant, DE + etc.

690. Réciproquement on peut exprimer les coefficiens différentiels D T D etc., d’une fonction U, par le moyen des différences finies de cette fonction, prises en donnant à la variable @ l’accroissement constant a.

Pour cela je réduis l’équation symbolique JU = U (e*t — 1) à la forme d'=ed—;;

ad= log (1 +),

j'en üre

et aUd ou |

ar = U log (1 + d').

Cette nouvelle équation suppose qu'après avoir développé le second meri-

bre suivant les puissances de d', chaque terme Ud” sera remplacé par la diférence d'"U; on obtiendra ainsi

a D = JU — à SU + JU — 1: JU + etc.

C'est la formule connue qui sert à exprimer le coeflicient différentiel d’une fonction par les différences successives de cette fonction. Ainsi æ étant assez petit pour que la suite des différences JU, d'U, JU, etc., soit très convergente , on déterminera le coeflicient a avec toute l'exactitude qu’on

peut désirer.

691. Si dans l'équation symbolique & D = U ie (1 + d), on met

pa à la place de U, on aura ddU dU d’où résulte “+ — U l (x + d).

On aurait de même a 2U F” =UP(1+d),et en général,

a" % x =Ur (+0);

de sorte qu'un coeflicient différentiel quelconque peut s'exprimer fa-

cilement par les diflérences finies de la fonction U, en supposant connu le développement de £* (1 x) qui désigne la rilance n de {(1 +x)

En effet si l’on a Æ# (1 + x) ou At(rn + gent ep etc.) = 2" (1 — Nix EN gt me N°1 2 etc. ),

on pourra en conclure

a" Dr = d'U — N'dtU Nr et eU — etc,

692. Supposons maintenant qu'on ait U= /udg ou D = u, la valeur de au exprimée par les différences successives J'U, d'U, JU, etc., sera au = d'U — + JU + + SOU — etc.

Dans le cas où lon veut construire une Table des valeurs de U , la quantité w est connue pour chaque valeur de @, et en faisant varier ® de

CHAPITRE HL 45 æ, on connaîtra les différences successives de w. D’après ces différences , il sera possible de déterminer en général la valeur de JU.

+ La En effet, soit au = p el GES

TEIs ir — = 1! + k'x + K'x° + A" + etc, , l'équation précédente donnera dU= p + Kdp + K'dp + k"dp + etc.

Ainsi d'u se déduit des quantités données p, d'p, d'p, etc., par une suite dont la loi est connue.

Cette même suite donnerait les différences ultérieures d'U, JU, etc.,

par les formules

SU = dp + Kd'p + K'Sp + etc,

SU = dp + KMp + etc.

Mais ces suites, pour déterminer JU, JU, d'U, etc., peuvent être rendues plus convergentes par un moyen très simple.

693. Soit v ce que devient la fonction 4, lorsque au lieu de @ on met ®++iæ; on aura suivant la notation précédente,

v=u(i+d}, pourvu qu'après avoir fait le développement du second ml suivant les puissances de d', on remplace chaque terme ud" par Te. De là résulte &v = au (1 + d')°, et parce que au = Ul(1 + d'),

on aura | œ=U(i+d} l(1+d).

Mais en effectuant le développement jusqu'aux de on a (1x) L(1+x) = a+ xt — donc |

aw=dU— > SU + 7x SU — 1 JU + JU — ete.

—— 2° + Ds etc. ;

Conservons le premier terme d'U de ce développement, mais substituons dans les termes suivans la valeur U = U° + gi nous aurons

av= dU — ï d'C° + “ d“U° — x d'U* + etc.

Dans cette suite, conservons les deux premiers termes d'Ü — —, 5 °L?, et

substituons dans les suivans U°° + JU* à la place de L°, nous aurons de nouveau

av = d'Ü — a SU + d'U°° — etc.

Cette suite prend ainsi une forme très convergente, mais il reste à s’assurer de Ja loi que paraissent indiquer les premiers termes, et à déterminer d’une manière générale celle de leurs coefliciens. 11 faut donc faire voir qu'au moyen des coeficiens »#, n", n°, etc., dont la loi sera déter-

minée, on aura généralement av = d'U — n'd3U° + n"d'SUe — n"J'Uese LE etc.

694. Reprenons pour cet effet l'équation symbolique æ = UU( 1+ d') ou au =Ul(1+d), on en tire

aud s — aud? es aud" AU= 5) d'U=; DE PU= GET) etc Mais d’un autre côlé on a

L —— U92 — D. Uoo ÆŒÆ ———— —, e + ST. — G+3)? "= (1+d)? We ; donc

— aus CE ALICE DS US —= au