Considérons de nouveau la formule

27 de D rares si l’on fait

378 ; INTÉGRALES ŒULÉRIENNES, 1 — re , on obtient d’abord P a a—*= —$u—) = (E)= Dec t au mem 7 ne

Soit p= a etg = n—a, on aura dx —…—…— | 92, fs, — ps à f ,

et en achevant les substitutions, il viendra

NL a+ n—14 1“, 2a JG ir )— —

cela posé, il fant distinguer deux cas, selon que a est << in ou > in. Soit, 1°.a <5n, on aura par les formules du n° 13, (n—2a "= « ds

= Sa a )— 2?" ‘sans: VQ+z") donc ds RE Put Le so 24 1 vers Jde) = ee (a

Soit, 2°, a>> in, on aura par l'équation (b), 20 = 7 24 — n (=)= sr (2); mais en faisant a—=n—c,on a 2 — n nn — n— a Fe) = c =) j et par l'équation (v), on a Les MCE LE Re né. 28 e VO +=) Donc au lieu deW’équation (a'), on aura sai che” = —n nn: ; dy — 7 —© OS b').

J ( Vas) /T 54 J Vü+s) (b) Au reste, cette dernière équation se vérifie immédiatement au moyen de la fonction P= 3-2 4/(1 2") — 23, qui s’évanouit dans les deux limites, lorsque 3=— 0 et lorsque z— © ; car si on prend la différentielle de cette fonction , et qu’ensuite on l’intègre , on trouvera

| satin 1 120 nn as — ds Sé- Ts 2 J Va+r)?

CHAPITRE I 379 formule qui ne difière pas de la précédente, parce qu'en mettant . au lieu

gt in — 1 ds gn—a—1 ds

de z, l'intégrale Vars se change en EL toujours 2=0, 2== ©.

16. Considérons enfin, dans la supposition de # pair, la formule

les limites étant

v'( “je si on fait x" =1 3", on aura par la substitution, QT — — a ads ' = tes, (6)

et l'intégrale du second sd devra être prise entre les limites 2= 0, 3= ©.

Maintenant, par la combinaison des équations (x) et (c’), on obtient

a ts ET (£ =927" cos ao (2 ; “ “ et par conséquent aussi, | in— a = . a (2 = 27 sin av GE) sa7n— Ni De ces deux-ci on conclura

O=2 + colang aw. =) (d'}, d’où l’on voit que » étant pair, il suflit d’avoir les valeurs de (2) pour tous

les cas où a ne surpassc pas +7, et qu’ainsi le nombre des auxiliaires nécessaires pour déterminer toutes les fonctions () qut répondent à une même valeur de », se réduit à n ou vu selon que n est de la forme 4m ou 4m + 2.

17. À l’aide de l'équation (d'), on trouvera des relations entre les auxiliaires AÀ,, À,, As, etc., qui réduiront leur nombre comme il vient d’être dit. Pour cela reprenons la formule (t),

(£ = po zheess sin(a1)#sin (a+2)«... sin 249 | re + "ErÈS Sin æ sin 2e. . .Sin Ge ?

elle donne, en FAURE 2m,

Ans. Ânsy .

++ Àsm—sa Sn( et one tale tio(auvac)e, MI Asa e o « Ançer L - sinwsin20...sin(rm—a)e

380 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

substituant ces valeurs dans l'équation (d'), et faisant les réductions dans l'hypothèse a <}m, on aura généralement

LV. VAR ET. VV 97% Sin(m—i)e sin(m—2)e..,sin(m—a# 1) ( ) DRE TPE Vus it. sinawsin(a+1)e.,..sin(2a—1)s oi

De à résultent, en faisant successivement a = 1 , 2, 3, etc. , des équations particulières qui peuvent être mises sous cette forme

A,À LR Ans = —<.2 Ta sin 3& [1 f).

AA L ( Ans = Sa" Ÿs sin 5@ . s AA De.

A4 —= “2,2 5 sin To elc.

Elles devront être continuées jusqu’à ce que le nombre en soit ou n— 3

18. Par exemple, lorsque » = 12, il ÿ a cinq auxiliaires A—(22), A,—(2), As=($), A4=(5), As = (Ê), entre lesquelles on a ces deux équations Às = À, . 26 sin ©, A,A3 A= << De sorte que le nombre d’auxiliaires nécessaires se réduit à trois, pour

lesquelles on peut prendre A,, A,, As.

Si on préférait de prendre pour auxiliaires trois des quantités M, , il faudrait avoir recours aux équations (u), lesquelles donnent

. 25 sin 3w.

sin A, = M, . Su 2”

AA: __ M, sin*.2# AA, M,° sin 3 singe ?

AAs __M; sin* 3w 4,4, M, sin5ssinôe

Au moyen de ces équations et des précédentes, observant d’ailleurs qu’on

FT A0 = on trouve