La seule transcendante à déterminer est

G)= af = na frs

Or en faisant x=1—rcol"1@, r= VS, = = > OU c=sin 75°,

dx d on fs = rs = 2 F(c, ®)+ const. Cette intégrale doit être prise depuis tangi®=r, jusqu'à @=#; mais par les formules connues (fonct. ell. art. 24) on trouve que la valeur tangi@=r=— 3, 3

T. JL

38a INTÉGRALES EULÉRIENNES ,

répond à la fonction Fe= $ F'; de Là résulte ÎE = 5 = =3F'e; donc l'intégrale cherchée (: D ÉERE: : “F(sin 75 5)= 2. 37 F'(sin 15°); car on sait que F'(sin 55°) = y/3 F'(sin 15°). Second cas n = 4.

20. 11 suffit encore dans ce cas de déterminer la transcendante I U dx dz ..

G)= 2 = =f 7 ++) Soit 2=tang:®, et «=; ou c= sin 45°, on aura f = date

ER 2 CR Va —csing) — jusqu’à ®= 7; donc on aura

@) = F'e= F'(sin 45°).

Troisième cas n=6.

+ F(c, @); cette intégrale doit être prise depuis = 0

21. On sait d’après le n° 16 que toutes les intégrales représentées par () seront déterminées au moyen de la seule transcendante

1 à dx ê x ds O=r fn so frs:

or par la substitution = 1-3", la première forme conduit au résultat =. ÎE à F'(sin 15°), et par la substitution <=)" — 1, la seconde

forme conduirait au résultat =. 3"? pr (sin 75°), qui s'accorde avec le précédent, puisqu'on a F' (sin75°) = y/35.F'(sin 15°).

Quatrième cas n=8.

22. La détermination de toutes les intégrales ( ) exige dans ce cas qu’on connaisse les deux transcendantes

Q= fps” 6e, : xdx à Ca £ds OS ET ET ET

CHAPITRE WI. 583 Mettant dans la seconde x* à la place de x, ce qui ne change pas les hmites, on aura Or = tr (sin 45°).

V{ — x) Ainsi tout se réduit à trouver l'intégrale (7 ); ce qui se fera au moyen de

l'intégrale T rer F5 prise depuis 3= 0 jusqu'à 3= ©. On peut supposer d’abord qu’elle soit prise depuis 2= 0 jusqu’à 2= 1;

ensuite pour la trouver depuis z = 1 jusqu’à 3 = © , il faudra mettre : à la place de z, ce qui donnera l'intégrale L TES à prendre encore depuis z= 0 jusqu’à 3 = 1. Donc l’intégrale dont il s’agit est la même que l’inté- 1 ds (1 + 2°) SEC) va +2) Soit 1 —2— 92, On aura —3= CA Eddy, vi +3) =

2 y[(qg* +2) —2]; donc Te

prise depuis z= 0 jusqu’à 2 = 1.

fers

Cette intégrale devant être prise depuis 9=0 jusqu'à g =, nous ferons m'=2 + 2, g=mtang®, b= ee ce qui donnera l’initégrale indéfinie T=- ——i- Vo = +

Lo = F@, ®), et l’intégrale complète

T'= = F'#; donc enfin la valeur de la transcendante cherchée sera (5)

a 7 F, parce que d'ailleurs m = 2 cos 2

Nous remarquerons que le module = ÿ(24y/2 — 2) est le complément du module c = ÿ/2— 1; or par la propriété de ces modules démontrée art. 85 des fonct. ell., on a F°& = ÿ/2F'e, donc on aura plus simplement

(7) = 2 F'e — ai F'(tang 2) Cinquième cas .n = 12.

25. 1l suffit dans ce cas de connaître les trois arr : IN È dx __ À LA de .

G)=2 J va —35 — ? cos f° va +25) N fs pe 2 G)=2 ‘. AS ss ds LA va+s")

G)= di if vas 2! R rs

384 INTÉGRALES EULÉRIENNES , La seconde et la troisième se ramènent immédiatement aux formules déjà

intégrées. En effet, si dans la seconde on met x à la place de x, on aura