CHAPITRE VII

Considérations générales sur les Intégrales Eulériennes de la première et de la seconde espèce.

55. Êx désignant par (£)lintégrale [= , prise depuis x=0 . VC — x")

jusqu’à æ = 1, Euler avait pour but de comparer entre elles les diverses in-

tégrales de cette forme qui répondent à une même valeur de à, et il suppo-

sait d’ailleurs les nombres p, 4, n entiers; mais on peut considérer les choses

d’une manière plus générale.

Soit x'= y, on aura la transformée LR dr(i —7y ÿ—! ; mettant dans celle-ci pet g à la place de Ë et], elle devierrdra =: {7 "dr (a 7}, nouvelle intégrale qui devra toujours être prise entre les hmites y —=0, J=T1t.

De là on voit que lintégrale /æ—"dx (1 — x)", prise entre les limites x=0,x=1, comprend l'intégrale d’Ealer, lorsque p et 4 sont supposés rationnels; mais elle pourra en représenter une infinité d’autres.

Nous désignerons cette nouvelle intégrale par le symbole [p, g], qui ne laisse rien de sous-entendu; les nombres p et g seront à volonté rationnels ou irrationnels ; mais ils devront être positifs l’un et l’autre, parce que sans cette condition, l'intégrale aurait une valeur infinie. Au moyen de ce nouveau symbole, l'intégrale Eulérienne s'exprime ainsi,

CHAHES q ee: ñn n? ñ, d

56. 11 est essentiel d’observer que l'intégrale désignée par [p, g] peut être regardée comme une fonction continue de p et g, ou comme la troisième

coordonnée d’une surface courbe dont p et q seraient les deux autres coordonnées. En efet, si l’on fait croître par degrés insensibles l’une ou l’autre