CHAPITRE VIH. 417 tier, on a généralement
av dx nn. g—1 — | q—l:Q—2...,.1 Sur f ph P+g—1ip+g—2... p+1°"p
Mais dans la même hypothèse on a, par l'équation (1),
Tg = 1.2.3.....9 —1, T(g+p) = (g+p—:i)(g+p—2)....prp;
donc la valeur de l’intégrale trouvée peut se mettre sous cette forme
es = PE LES Tprg [a dx (1 — x} =
On aurait trouvé le même résultat en supposant p entier et g un nombre quelconque, ce qui d’ailleurs se voit immédiatement en meltant 1 —x à la place de x.
62. L’équation précédente ne contenant plus de facteurs en nombre indéfini , acquiert une plus grande généralité, et ne suppose plus que lun des deux nombres p et q est entier ; car d’ailleurs chaque membre doit se réduire à une même fonction de p et q, laquelle est
1 g—1 1 q—1:./—2 1 __g—1.g—2.q—3 L t P 1 p+it 1.4 "p+2 1.2.3 dE" bee
Nous aurons donc, quels que soient p et g, l'équation
rpr LP, = pr
qui sert à exprimer généralement la fonction [p, g] au moyen des fonc-
tions T.
63. L’équation (3) simplifie considérablement la théorie des fonctions [p, g] puisqu'elle fait voir que ces fonctions, qui dépendent en général de deux variables, peuvent se déterminer par la fonction T qui n’en contient qu’une. Cette même équation, en établissant une relalion entre les fonctions {p, g] et les fonctions T, va donner les moyens de découvrir les propriétés des unes et des autres. Et d’abord on voit que dans la fonction CP, gl, les quantités p et 4 peuvent être échangées entre elles, puisqu’il en résulte toujours la même valeur de [p, g]. On a donc la for-
mule | Cr, 9) = (9, p] (4) On a ensuite, d’après l'équation (3),
418 INTÉGRALES EULERIENNES ,
Cp, q] — T(p+9)?
et celles-ci étant multiphiées entre elles donnent
= TPTqtr " Pr +p =
Si l’on observe maintenant que dans le second membre de cette équation deux des lettres p, 4, r, peuvent être échangées entre elles à volonté, on en conclura cette nouvelle formule :
CP, 9] += Up, 1] {p+ng)= (gr (atrpl, O) laquelle contient une propriété fondamentale des fonctions [p, g].
Ces propriétés, au reste, s’accordent avec celles que nous avons démontrées dans les Chapitres I et Il, relativement à la fonction désignée par (?) ; mais elles ont dans notre nouvelle notation une plus grande généralité, puisqu'elles ne sout pas restreintes à la supposition que p et g soient des nombres entiers ou seulement rationnels.
64. L'intégrale [p, g] peut être déterminée exactement lorsque p+9= 1 ; en effet, considérons la formule
[a, 1—a) = fa dx (1x);
si l’on fait 1 —x=° , Ou = ——, l'intégrale aura pour transformée LL, laquelle devra être prise entre les limites 3=—0, :— œ. Or, Euler
# “+ . (Je F a prouvé que cette dernière intégrale = sin ax
; ainsi on aura généralement
Ed
[a, 1—a]) = sio as
Mais par l'équation (3) on a aussi
[ai —a]= ETC) = rar (1 — 4).
Donc entre les fonctions Ta, T (1 — a), on a cette équation très remarquable
TaT (i—a)= se : (6)
