CHAPITRE VIIL
c’est la seconde propriété générale des fonctions T. Si on fait a = :, il en résulte Ti= y7.
65. On voit par cette équation que les fonctions Ta, T (1 — a), placées symétriquement dans la première période, peuvent se déduire l’une de Pautre, puisque leur produit est toujours une quantité connue. Et parce que les racines 4, 1 — 4 sont complémens lune de l’autre, nous regarderons la fonction T(1 — 4) comme étant le complément de Ta, et réciproquement.
On a déjà remarqué que pour déterminer la fonction Ta dans toute son étendue, il suflit de connaître cette fonction dans la première période, depuis a = 0 jusqu’à a = 1, ou dans une autre période quelconque, comprise entre deux entiers consécutifs m, m = 1. En vertu de l'équation (6), il suffra de conmaître la fonction Te dans la moitié d’une périede, par exemple depuis a = 0 jusqu'à a = +, ou depuis a = À jusqu'à a= 1.
Dans la seconde période, les fonctions T(1 + a), T (2 — a), également éloignées des extrémités de la période , seront pareillement regardées comme complémens l’une de Vautre; et puisque d’après l'équation (1) on a T(i+a)=ara et T(a—a) = (1 — a) T(1— a), il s'ensuit que les deux fonctions T'(1 + a), T (2 — a) pourront se déduire l’une de l’autre par l’é-’ quation
a(1—4üä)# T(i+ a) T(2 — a) = C2, On trouverait de même, dans la troisième période , que les fonctions T (244) et T(3—4) se servent mutuellement de complément , et se déterminent l’une par Pautre.
66. Ces formules entre les fonctions complémentaires prendromt une forme plus élégante en les comptant du milieu de chaque période; alors on aura pour les périodes successives les équations
cos ax ?
TG a)T (EH a) = (5 — a), T'G—a)T (+ =(—4)(—#) —, <tc.
Si l’on fait a — 0 dans ces diverses équations, on aura les valeurs des fonctions qui se rapportent au milieu des périodes , savoir : Tin Va, Ti) = Var, Tin EI Va, Tim. y, etc.
Ces fonctions, et celles où a est un entier, sont les seules qu’on puisse dé-
420 INTÉGRALES EULÉRIENNES,
terminer exactement, sans employer de transcendantes plus composées que . les arcs de cercle et les logarithmes.
67. Si l’on cousidère les fonctions successives T + x 2; r 2. Tr — — J ;
dans lesquelles # est un nombre entier, il suflira de connaître les ==
. + . “ Ê Li] " premiers termes de cette suite , si # est impair , et les = — 1 premiers seule-
ment si z est pair. Les autres se détermineront par l’équation (6), à laquelle on joindra, dans le second cas, l'équation Ti = 7.
A l'égard des intégrales (°) qui, dans la notation d’Euler, répondent à une
même valeur de »#, elles s'expriment par les fonctions T', de la manière suivante :
rOrO O=;L! TC) () @=. rOrO (p+g—n)r (EI) la première devant être employée si l’on ap + q < n, et la seconde si l’on
ap-tqg>n.
Au moyen de ces deux formules et de l'équation (6), toutes les intégrales
(€) dans lesquelles les nombres p et g sont pris à volonté dans la série 1, 2,
3..,.n, pourront s'exprimer par les premiers termes de la suite r(?), r (©), —1!
r @} etc., savoir, par 2 termes si z est impair, et par =—1 si nest pair. 68. Comme on a =), on pourra toujours supposer que p n'est
pas > q ; alors les intégrales () qui répondent à une même valeur den, pour-
ront être disposées dans un ordre triangulaire, comme il suit :
