CHAPITRE X

Recherches ultérieures sur les propriétés des Fonctions T.. 90. Coxsintrons la fonction @(x) exprimée par la suite infinie

er hisisti spi pe pes, T. IL. 74

438 INTÉGRALES EULÉRIENNES, dans laquelle nous supposons x << 1; si on développe cette quantité suivant les puissances de æ, et qu’on désigne, comme ci-dessus, par $, la somme des puissances réciproques du degré »#, des nombres naturels, on aura px) = Sex — Ssat pe Sas — Ssact jeté.

Mais par l'équation (18), on a

logT(1-+x)=— CrHiS,x—1?S, 2x Lis, xt etc; différenciant celle-ci et comparant le résultat à la valeur de g(x), on en tire

Qx)= C + AC HS); (26)

d’où l’on voit que la suite désignée par g(x) peut être sommée immédiatement, au moyen du coeflicient différentiel de la fonction log T{1+ x), puisque d’ailleurs C est une constante connue (art. 86). Observons que la fonction (x) peut être mise sous la forme

1+x 2+x 3 3+x ns 4 +

alors on voit qu’elle est la différence de deux suites qui ont l’une et l’autre

une somme infinie, mais qui étant ainsi retranchées terme à terme, l’une de

l’autre, laissent pour reste une quantité finie. Cette quantité est d’ailleurs la

même qui a été désignée par C'—N, (art. 81), et elle représente par con-

séquent aussi la somme de la suite harmonique

91. Puisqu’on a généralement %Æ L 1 : L = dir(r+x GG) Gr) oem + CCS,

on trouvera, par des différentiations successives, les sommes de différentes séries, savoir :

F —- +a—— : a ddir(i+x) G+s) “ (+:) CES CEE Fay + etc. — { = à : 1 ï ï L: = Li d'Ir(i+x) (+) a+ (3 pe LS 7e mp + etc. = = 1 : t : + | Pi LE te L Er (r +x QG +} (a+) G+R TG Fa + etc. = — = )