CHAPITRE X
Et en général, si l’on désigne par N,(1 + x) la somune de la suite infinie
LI L 1 1 Gr a À GR À ga tetes on au
Lo +oe= en STE,
de sorte que les sommes de toutes ces suites se. déterminent par les coefliciens différentiels successifs de la fonction 2T(r + x); il faut seulement excepter le premier terme 4,(1 + x), d’où l’on a déduit tous les autres, et qui
dir(i + x)
ne se détermine par ———7—", qu'en ajoutant la constante infinie... HE 3H ete. | 92. Représentons par (4, r}" la somme de la suite infinie
av
1 1 1 RACE DCE 7 ENTER si lon fait a= ax, cette suite devient 1 1 1 Li = (+ rte “.).
Ainsi en faisant x = “, l’expression générale de la transcendante (a, n}* Fe ;
sera :
(a, = a V.(x) = RE Sont de”
On peut encore remarquer qu’en faisant QUE) = 1+ + meta
on aura en général ®,(x) + 4,(1 + x) = const. =5$,; donc \ (— 1} dir (1 + x) PE) er Se ef ne Sr C’est simplifier la théorie de ces diverses transcendantes, que de faire voir. qu’elles dépendent d’une mème fonction /T (1 +-x) et de ses coefliciens différentiels successifs, | 93. Considérons maintenant d’une manière particulière l’équation ddir(i+x) 1 dx* — (Gt+z)
que nous mettrons sous la forme
Li 1 Fa tor tr
LE
kdo INTÉGRALES EULÉRIENNES, dd lrx : 1 1 1 CR NTE TON CE TAN CE 7 US (7) Cette formule est le principe d’où nous allons déduire de nouveaux théorèmes, qui serviront à perfectionner et même à compléter entièrement la théorie des fonctions T.
Soit pour abréger, f(x) la fonction qui forme le second membre de l’équation (27); si l’on met 2x à la place de x, on aura
LL handle ne ne UT SE ut f(2x) — # E TT (+ x} + G Fzy + GE te. ] = dans la suite renfermée en parenthèses, les termes de rang impair ont pour somme f(x), et les termes de rang pair ont pour somme f(i+-x). Ainsi
Li fa) = 2f{2) +1fG 4e):
or l’équation (12) donne f(x) — HR fG+zx)= ct hu A f{2x)=
ar Le. substituant ces valeurs, il vient
. déir(ax) ddirz | ddtf(! +5), dt dz* multipliant par dx et intégrant, on a
dir ( 22) dirx , dir(i de dx ss
Multipliant encore par dx et intégrant, il vient log T(2x) = log Tx + log T (Lx) Laxz Hé, ou, en passant des logarithmes aux nombres, TaT (x) = Aer T (2x), 11 reste à déterminet les deux constantes A, æ&, introduites par lintégra-
EG Le.
tion. Pour cela, soit æ infiniment pelit, on aura Tæ="et T(2æ)=—; donc A—2T} Soit ensuite x= 2, on aura Ae "= T1, donc “2; donc l'équation générale est TaT (x) = T(ax).a—ex Ti (28) Nous retombons ainsi sur l’équation (9) déjà démontrée de deux autres manières ; mais la même méthode va nous faire découvrir de nouvelles propriétés.
94. En appelant toujours f(x) le second membre de l'équation (27), si
CHAPITRE X. 441 lon met 5x à la place de x, on aura 1 L 1 ï 1 SEC + tort tarte]
La suite contenue dans le second membre se décompose en trois autres, savoir ,
1 1 1 TRES T GE + etc. = f(x), 1 1 1 , ces tosm tout te = JG4x), 1 l ! s .
rotor tors tes JG+2) donc on a | JSGx) = 5; U(x) are +SG +x)].
Remettant au lieu de f(x) sa valeur LE, et semblablement pour les autres termes, il vient dr Go dre 4 SRG, dre
dé dx Intégrant cette équation deux fois consécutives, on obtient pour résultat TaT (4 +x) T($ x) = T(3x).Ae—ex, Pour déterminer les deux constantes À et æ, soit, 1°. x infiniment petit, on aura A=GTITi—=
nn , ‘ o 1 x His = 2 V3; soit, 2°. x=3;3, on aura...
Ac ÿ*=TITi=4 A, et par conséquent “= 3°. Donc on a l’équation TaT (à ax)T(x)æ=am. 3" (3x): - (29)
c’est la quatrième propriété générale des fonctions T.
95. Si l’on considère semblablement la fonction f(5x), et qu’on décompose la suite qu’elle représente en cinq autres, provenant des termes comptés de cinq en cinq, à commencer par le 1°, le 2°, le 3°, le 4° et le 5°, on obtiendra l'équation
SGx)= fem) HSE + 2) HSE + 2) + + 2)], ce qui donne l'équation différentielle
5, ddl | pA au Go dre LE Ge Me) 4 SUR He) dir (+2)
442 INTÉGRALES EULÉRIENNES dont l'intégrale est TaT (+ x) TG z)T (Hz) T (+ x) =T(5x). Ace.
Pour déterminer les constantes À et &, on fera successivement x infiniment
petit et x ==, ce qui donnera
A=STSiT
iTiTé, « Ae S=rTiTi:TiT#—"!A; donc e* = 5% : ensuite on a par l'équation (5), rilée nn lili re ce qui donne À =
— "= {7° /5. Donc enfin la fonction T satisfait | sin Esi in a+ encore à l’équation.
TaT (tx) (+2) T (x) T(x) = T(5x).(am) 557%: (50) c’est la cinquième propriété générale des fonctions T
06. Il est facile de voir qu’on peut généraliser ces résultats et les com prendre dans une même formule. En eflet,
n étant un entier quelconque , la valeur de f{nx) pourra se décomposer ainsi, J{nx)=
Le HG +) +/G+x)..
(— — | ni ir 5 z) |; il en résulte l'équation différentielle LI No 1 ddir (nx) ddlrx ddr (+ <) . n + =) he. 7, Le — > —— vue.
dont l'intégrale fime est
TaT (+z) (+)... .T(2="
dx Ts
+x)=T(nx). Ae«x.
Pour déterminer les deux constantes À et æ&, faisons successivement x
infiniment peut et x = 7? ROuS aurons ces deux équations
PRET D D TS dc) # # nn L12 PES SEE A es " n 112
