CHAPITRE XIIL
P(D=2-2/ Lab, e()=s-s fes im, = PE 4 — sn
Lorsque & est infiniment petit, on aura
dxl = — x") dx x p(x) = [NS 7. N'LRRe
Cette valeur se déduirait aussi de la formule
dp __ ddlogr(r+ a) ET -é.
dont le second membre se réduit à S, ou F lorsque a = 0 (art. 18).
La fonction @ (a) décroit donc continuellement depuis 4= 1 jusqu’à a=o; elle est égale à 1 dans la première limite, et à zéro dans la seconde.
Nous remarquerons qu’Euler a donné la valeur de @(4) dans son Calcul différentiel, page 814, mais d’après une suite infinie qu’il ne somme que dans ce cas particulier.
125. Si l’on différencie logarithmiquement les équations (C), (D), (E), etc., on aura diverses relations entre les coefficiens différentiels de même ordre de la fonction T' (x). Et d’abord l'équation (C) donne
dire diT(i—a) A da) = —7cotar. (35)
Q “ Q Pr 4 . dl — LA * Ainsi le coefficient différentiel Es peut se déduire du coefficient
différentiel ee, que nous regardons comme son complément.
Cette équation fait connaître la différence de deux coefficiens qui sont complémens l’un de l’autre, et elle a avantage de donner cette différence pour toute valeur de a rationnelle ou irrationnelle.
L’équation (32) donnerait pour la même différence, cette valeur
dira dr(t—a) fds #9 de dia) J = 1x ?
donc on a dx gs x 1—53
=# coter, (36)
466 INTÉGRALES EULÉRIENNES,
formule qui a lieu pour toute valeur de a, et qu'il est aisé de vénifer lorsque a est rationnel. Cette formule s'accorde entièrement avec celle du n° 35.
126. Différenciaut de même l'équation (D), et changeant x en a, on aura
dira , dir(i+a) __adir (2) __ | EN TT N d(a) —=—2l2.
Le premier membre se compose de deux différences qui se déterminent par l'équation (32), et dont les valeurs sont
dira dr (24) __ a — x° “da d(2) = "1—x?
TE dir (24) __ dx se ja d(;+ da) — "x
Donc en faisant les a on aura la formule
[= À ÉE 2 et—m E) + 1x
De l’équation (E) on déduirait semblablement la formule
=. e+ast “Lai he rm | A
1% et ainsi des autres.
Ces formules peuvent aussi se mettre sous la forme suivante:
far EE = la,
fat-dx EHESS Ep, D x at 2 — fa dx. ts tE EE = l4, et l’on. peut remarquer qu’elles sont toutes contenues dans la formule générale Fe :
x! nas fe Ps ire (57) 127. Ce résultat est facile à vérifier lorsque a est un nombre entier. En effet, appelons F(a) le premier membre de l’équation précédente; si à la place de a on met a+ 1, On aura
E(a+ = ff EE «
Q dx se xd aa t as d—] Mais on a f7— =—- af se Ad
CHAPITRE XIII. 467 Faisant x= 1 dans les parties hors du signe, et retranchant une intégrale de Pautre, on aura F(a + 1)=F(«), et par conséquent F(a)=F(1). Mais
lorsquea=1,0na
TT
faisant ensuite x = 1, on aura F(r)= ln; donc F(a) = In. La formule générale est donc démontrée lorsque # est un nombre entier.
128. Supposons maintenant Me £ ,pet g étant des nombres entiers, si
l'on fait x = y", on aura ag dy Pi Fa)= (EE 2), intégrale qui devra toujours être prise depuis y = 0 jusqu'à >= 1. Si l’on faisait 7" = %, la valeur de F(a) pourrait se mettre sous la forme
c’est-à-dire que F serait la différence de deux intégrales de même forme et prises entre les mêmes limites; d’où il semble qu’on devrait conclure que F est nulle. Mais il faut observer que les intégrales dont il s’agit sont toutes deux infinies, et que leur différence, qui peut être finie, dépend de la relation qui existe entre zet y, et ne peut être trouvée que lorsqu'on aura écarté les infinis de part et d'autre.
Pour cela, je remarque que p et g étant toujours supposés des nombres entiers, on a, par les su de la décomposition des fractions rationnelles, Ma D Er AIRE N étant un dénominateur qui ne s'évanouit pas lorsque y = 1. On aura donc l'intégrale indéfinie d LE = 16 -n)+J0) f(r) étant une fonction de y exprimée en arcs de cercle et logarithmes, laquelle est nulle lorsque y = 0, et ne devient pas infinie lorsque y = 1. On
aura semblablement #7 \d = — 3) +f(2), J(z) étant la même fonction de z que f{ r) est de y. De là résulte l'intégrale
468 INTÉGRALES EULÉRIENNES, indéfinie F=!/ =) + Ur) —f(s) ; ?
ou, en mettant y* à la place des,
FE) + ff) Maintenant si l’on fait y = 1 , comme on peut préalablement mettre = sous la forme 1 y +"... y", on aura la valeur cherchée F(a)= in, de sorte que la formule générale est démontrée à priori pour toute valeur rationnelle de a.
129. Considérons encore l'intégrale prise depuis x=0 jusqu'àx = 1, T = es) frs
1— + logx *=!;
si on la met sous cette forme composée de trois parties TE) a+ fu) ff)
la première partie en vertu de l'équation (33)...=—C— Z'a, la seconde = log m; il reste donc à trouver la troisième partie
et on aura T=—C— Z'a + log m + V. sa Lorsque n» est très grand, on a Z'(1+n)= logn, et par conséquent [ ET dx = C+ log n. Mais la formule (37) donne en général
nai dx ds
donc
Mettant x” au lieu de æ, les limites de l’intégrale seront les mêmes, et on aura
