Soit po et ra, le coellicient différentiel RD se ré

duira — C d’après la formule (18); ainsi on aura

ÆC+e = C0 + [RS : (33)

c’est l'expression du premier coeflicient différentiel de la fonction logT(1+ a).

Ce coeflicient pourra se déterminer exactement lorsque a sera un nombre rationnel, puisque sa valeur est composée de la constante connue — C et

CHAPITRE XIN. ” 463 d’une intégrale définie qui ne dépend que des arcs de cercle et des loga-

rithmes.

Soit alors a = —, et soit x" , On aura

G—x ce. ny"'dy G—y") ni dy pr 1—x 1—7" Y 1—3"" Cette dernière intégrale étant désignée par B,,, on aura (12) dx

n == ms s— nB,.; par conséquent pour toute valeur rationnelle «= — le coeflicient diffé tie] 2ECHS + a)

aura pour expression | dir(G+a) a) 1 — dm — C + É nB,, ce qui donne aussi

Quant à la valeur de B,,, on trouve par les formules connues que son

+ L4 LA ® LÉ expression générale est, en faisant w — =.

B.— & cot ma = log n—° cos 210 log (2sin &)—°cos4malog(asinaw)—etc.,

le dernier terme devant être — 2 cos (7 — 1 }me log (2 sin — : &) : sir est impair, et — : cos m7 log 2, si n est pair ; mais il faut observer que cette valeur suppose m <<n. Dans le cas contraire, il faudrait séparer de la différentielle s IF, la partie entière qu’elle contient, et l’intégrer dans les limites y = 0, y = 1. Le reste de cette différentielle représenté par æ. IT ZE , aurait pour imtégrale la quantité B,.

La même opération peut être faite d’une autre manière, en diminuant successivement Ja valeur de a jusqu’à ce qu’elle devienne plus petite que l'unité. On a pour cet effet les formules T( 1-+a)æ aa, T(a+a)= (1 +a)aTa, etc., d’où l’on tire

dir(ri +a ae r LICE ” a) :.

dir (2 + a) ., 3 , dÎra —p— LS Le -

etc.

464 ‘ INTÉGRALES EULÉRIENNES, 123. Si on désigne par @(a) la somme de la suite harmonique... . 1+ tata on aura par l’art. 82, . 1 , dloga d log r'(1 + a)

La fonction @ (a) sera donc aussi exprimée par lintégrale définie

e)= [OI > (34)

* Cette expression se vérifie immédiatement lorsque a est un nombre entier. En effet, dans ce cas on aura

IE dr = (ira... patr)de,

= et l’intégrale de ce polynome, prise depuis x —0 jusqu'à æ= 1, donne la suite 1 Hits += désignée par @(a).

Ce résultat étendu à toutes les valeurs de a, en vertu de la continuité de la fonction @(a), aurait suffi pour donner l’expression de @ (a) en intégrale définie, et de là celle du coefficient différentiel Es, qu’on aurait trouvée ainsi sans le secours du théorème de Part. 29.

124. Il résulte de la formule précédente que, toutes les fois que le nombre a sera rationnel, la somme @(a) de la série harmonique pourra être exprimée par le moyen des arcs de cercle et des logarithmes, ce qui est un théorème assez remarquable.

Pour avoir la valeur effective de @ (a) dans le cas dont il s’agit, on observera d’abord que par la nature de cette fonction, on a

d’où il suit que la détermination de la fonction @(a) se réduira tou-

jours à celle d’une pareille fonction dans laquelle & sera plus petit que l'unité.

Soit alors, a=T, m étant << n, et on aura, comme ci-dessus, P(a)=:—2B.

Les cas les plus simples peuvent être calculés directement par le moyen de l’intégrale définie. Ainsi on trouve