CHAPITRE XIIL

2"), Z'(2)....2"(R), suffiront pour déterminer toutes les autres: ces deux transcendantes se trouveront d’ailleurs par la même méthode qui a été employée à l’égard des fonctions F.

153. En effet, si l’on désigne, pour abréger, la fonction Z' (2) par (4), l'équation (38) donnera, en faisant © = 0%)

(1) + (nu) = = 472 + 3), (2) + Go) = 47", (5) + (9) = 27, (4) + (8) 4) G) + (1) = xs = 472 — V3), (6) =; on aura ensuite, par l’équation (39), les deux conditions

(1) + (7) — 4G) = 0, (2) + (8) — 44)=0, et par l’équation (40), cette autre condition,

Ces neuf équations permettront de déterminer toutes les transcendantes dont il s’agit, par le moyen de deux d’entre elles. Par exemple, si Pon prend pour données Z'(2) et Z"(-2), que nous désignons par (1) et (2), les autres transcendantes se détermineront ainsi :

= 3G)—5(0)+7(G —5V3), (4) = 32) + 47, G) = (1) — 4(2)+ 47° (2 — V3), (6) = ;7", (D) = 4(2) — (1), (8) = — 3(2)+%7° (9) = 3(2)—5 G)+mG+iys), (ui) = — (1) + 47 (a + 3).

li ne reste, pour la détermination absolue de ces quantités, qu’à connaître Z"(r5) et Z"(5). Pour cela, il faudrait pouvoir sommer les suites que ces quantités représentent, savoir : | 78.:

472 INTÉGRALES EULÉRIENNES, 2(=) = 144 (: ps n + + 3 + etc.), z"(2) = 36 (: + ä + eo + n + etc).

On pourrait aussi déterminer ces quantités par les intégrales définies

dsl= 2(2) = = 144 1 x?

dxl=

Mais la difficulté d'exprimer ces intégrales autrement que par les séries précédentes, rend ces expressions peu utiles. Lorsqu'on voudra obtenir ces valeurs par approximation, on y parvien-

dra aisément par la formule de l’art. 37.

dir 134. Considérons maintenant le troisième coeflicient Z'”'(a) = ; ; on

aura d’abord, par l'équation (€), ZM (a) = LG — 0) = — ONCE (41)

sin ar ?

ce qui détermine la fonction Z"# (1 — a) par son complément Z”' (a). On a ensuite, par les équations (D), (E), etc., La) + 254 a) — 82"(2a)=0, Z"(a) + Z"G Ho) + 2" + a) — 2792Z"(3a) = 0, et ainsi de suite; ce qui établit les mêmes réductions entre les fonctions Z'"(a) qu'on a obtenues entre les fonetions Z"(a).

Le cas de a = 1 donne, par les formules de Part. 132, Z'""(1 )=— 28; si dans la première des deux équations précédentes on sai a=;,0n aura 2") = 792") =— 148, ; enfin, dans le cas de a= 3, on aura les deux équations . 2 8x*

Z"(:) + Z"(3) ÉE 26Z"(1) m0, ce qui détermine les deux transcendantes Z"(3) et Z'"(3), Lans le moyen de Z'”(1) ou de S;.

Toutes ces solutions reviennent à celles que nous avons déjà données