CHAPITRE XIV. Divers exemples d'interpolation

155. Eve, dans le chapitre XVII de son Calcul différentiel, a résolu divers problèmes d’interpolation par des suites infinies dont il ne donne la somme que pour le cas de 7==;. Nous allons faire voir que ces interpolations peuvent être effectuées d’une manière plus simple et plus générale au moyen des fonctions F.

Exemple I. Supposons qu’il s’agisse d’interpoler la suite dont le n°" terme

estN=i1+i+s....+ :; la question est de savoir ce que deviendra N,

lorsqu'on donnera à n une valeur fractionnaire quelconque,

« Nous avons désigné (art. 123) ce terme général par @ (7), et nous avons fait voir que ® (2) est donné par la formule

(1— x") de = ————,;,

cette intégrale étant prise depuis x = 0 jusqu’à x = 1. On pourra donc dé terminer @ (x) par les arcs de cercle et les logarithmes, toutes les fois que » sera un nombre rationnel. Dans les autres cas, on déterminera @ (x) par la

suite 1 A' B' C’ p(n)=C+ + + pe — grec.

où A’, B', C’, etc., désignent les nombres Bernoulliens. On pourra toujours faire en sorte que cette suile converge rapidement dans les premiers termes ;

—. Ainsi @ (x) peut être déterminé par

carona@(n) =@ (n + 1) —

® (n + #), k étant un entier qui pourra être pris assez grand pour que la série qui détermine @ (n -+- k) ait les conditions requises.

136. Exemple II. Soit proposé d'interpoler la suite dont le terme général ou le n°" terme est

Lu+Eé , a+ , a+ 3% a+ né, N= Ro PIS « Puisqu'on a “+%— °

+ -————— , on voit que ce cas se ramène au préa+nb— b bb €: + -

cédent , et que MES de N pour toute valeur de », sera

+ LG +r)—eG)] Ainsi on pourra RES par les arcs de cercle et les logarithmes , toutes

lés fois que + n aura une valeur rationnelle. 137. Exemple III. Pour interpoler la suite dont le terme général N=1: +++ T “ss +=, on pourra se servir de la formule

(—ay—" d'Ir(14+%x) PERRET er

etappliquer les réductions js lg à la fonction TC HE) GC +) ; dans laquelle on fera x =n.

Dans les cas où cette fonction ne pourrait s’exprimer exactement en vertu

de ces propriétés, il faudra, pour trouver la valeur de N, avoir recours à la série qui vient des différentiations répétées de la formule

CHI D CS, —Syx* + Sjr — eto.

Mais comme cette formule suppose x < 1, il faudra préalablement ramener le cas proposé à celui où x est << 1; ce qui n’a aucune difficulté, puisque N étant une fonction de # qu’on peut désigner par f (2), on aura

JG)=f(n— 1) + 138. Exemple IV. Soit proposé d’interpoler la suite dont le terme généri N 2e ÈS aa6 +36 ak né

a+b' at sk ..... ans