CHAPITRE XVE L

œ D = JA + EEE JA + +2 va + The same d'A + etc., a TE = JA + (x — 1) PA + SEE JA + ete, œt = d'A + (x — }) JA + ee. | etc.

On connaîtra donc les coefficiens différentiels dont il s’agit, par les diffé. rences d'A, d'A, JMA que la table dorine iminédiatement. . 155. Dans le cas de r=1, on a aa, et les formules devrennent w Te JA + + "A — ÿ SA + MA ete, a TE = d'A — 2 d'A — etc., a De = J'A — ! MA + eta.

Celles-ci offrent des formules an peu plus convergentes que celles de Particle 691, de sorte qu’il y a quelqu’avantage à déterminer les coefliciens différentiels de la fonction log T{a +) par le moyen des différences qui répondent à la fonction précédente logTa. | 156. Appliquons les formules précédentes à la fonction X=logT(1+5); alors on fera a— 1.535, x=#, et les différences données immédiatement dans la table seront d'A.=: — 57 262 267, d'A = 475.486, d'A = — 483, d’où résultemt les valeurs suivantes des coefliciens différentiels, 7" .AX + .

TH = — 0.057 341 5415, daX Ads Tr = à.475- 808 ,

4 dx Pour vérifier le premier de ces résultats, on peut avoir recours à la formule (33), qui dome

&. BL nc + nft=é, Effectuant Pintégration indiquée entre les limites += 0, x= 1, il vient dx , :

m =B+am— ;lg27 — —+,

488 INTÉGRALES EULÉRIENNES, et en substituant les valeurs numériques, = = — 0.057 341 542 008 65,

d’où lon voit que nos déterminations sont aussi exactes qu’un peut le désirer.

157. Lorsque a est un nombre rationnel us on a vu dans l’art. 122 que ss 2= [IS t—ne, prise depuis x=—0 jusqu'à æ= 1, est exprimée par - — nB,,,B, étant une quantité dont la valeur est donnée par arcs de cercle et par logarithmes (ibid.). Mais si l’on suppose, par exemple, a = , la valeur de B,, dont il s’agit sera tellement compliquée, qu’il de-

viendra à peu près impossible d’en tirer là valeur numérique de l'intégrale Z, et la dificulté serait encore plus grande si à était une fraction plus composée,

Dans ce cas, l'intégrale dont il s’agit pourra se trouver d’une manière beaucoup plus facile par la formule de l’article 122, qui donne

Z=C+MTES:

-or pour la valeur a= 1.563, on trouve le coefficient différentiel

PTE = 0.040 754 344.

Ainsi on aura l'intégrale cherchée Z=— 0.671 009 958, laquelle doit être exacte au moins jusqu’à la huitième décimale.

Nous sommes entrés dans d’assez grands détails sur ces diverses méthodes d'interpolation, parce qu’elles sont peu connues, et qu’elles peuvent s’appliquer à toutes les tables dans lesquelles il est nécessaire d’avoir égard aux différences du troisième ordre.

En terminant ici le Traité relatif aux deux sortes d’Intégrales définies que nous avons désignées sous le nom d’7Zntégrales RÉ RUSÉ nous croyons devoir faire observer que les divers perfectionnemens qu’a reçus la théorie de ces intégrales, depuis qu’elle est sortie des mains de son illustre auteur, sont le fruit des recherches que nous avons publiées successivement dans plusieurs écrits, savoir : 1°. dans le Mémoiresur les Transcendantes elliptiques (Paris 1793); 2°. dans les Mémoires de la classe des Sciences Physiques et Mathématiques de l’Institut pour l’année 1809; 3°. enfin, dans les parties II el IV des Exercices de Calcul intégral. D’autres géomètres ont publié le résultat de quelques travaux particuliers sur la même matière; mais ils n’ont fait que reproduire sous une autre forme les résultats trouvés long-temps auparavant par Euler.

TABLE DES LOGARITHMES DE LA FONCTION Fa, Calculés à douzé décimales, pour toutes les valeurs de la racine a, de millième en millième,

depuis 1.000 jusqu’à 2.000. .

On y a joint leurs différences première, seconde et troisième.

Ont ne ne ne fm né fé et s

me

ne 4 .

75 fit 249 Gi 21/7312 304/103ù où 898 gra|7u 260|1034 .003/9.999 251 6 313,248 pu 64617 710 2321031 201/1030

-001/9.999 749 6 -002/9. 999 Ti

.00419.6 ps 998 795 5 boo 253 NE 78 .006|9.998

Log. ra.

225 248 002 977 66/2 ji 7 219/7 246 060 mA od21707 147 707 147 5 352 805 [04

998 508 732 32 o4o 9-998 262 se 9982

28 730 659|243 237 587 703 070 Rs

.012/9.997 042 98 555|2 .013/9. sb 539 be o A 131 413|706, 040

») 96 £ -019/9. 995 364 Fo 172 236 946 183 694 054 .020 9. )-995 127 871 02/9 99 zT -022|9.099