CHAPITRE XVI

différences successives JA, JA, d'A, eic. On a & — 0.001 quañd on prend dans la Table les termes qui se suivent immédiatement; mais on pourrait également faire #=—=0.002 , 0.003, ou plus, afin de rendre sensible la différence quatrième d'{A qui est presque toujours au-dessous d’une unité décimale du douzième ordre, lorsqu'on prend w == 0.001.

En se bornant à l'hypothèse w — 0.001 qui est la plus simple, puisque la Table donne, sur une même ligne, les nombres A, d'A, d'A, dSA , on

voit que la valeur qui en résultera pour le cofficient %, ne sera approda ?

ne le sera

chée que jusqu’à la neuvième décimale à peu près; celle de que jusqu’à la sixième, et celle de e jusqu’à la troisième, Mais c’est déjà un grand avantage d’avoir les deux premières trauscendantes d’une manière si facile et avec un pareil degré d’approximation.

152. Soit, par exemple, a = 1.500; les différences données immédiatement dans la table pour cette valeur de 4, sont

on en tire les coefliciens différentiels

À = 0.015 847 394, ee = 0.405 979, + =—0. 359. Si, au lieu de faire w— 0.001, on fait w—0.002; c’est-à-dire, si on preud dans la Table les fonctions A qui répondent aux racines successives 1.500, 1.502, 1.504, 1.506, 1.508, on aura les valeurs de d'A, d'A, d'A, d'4A, comme il suit, d'A = 32 506 268, d'A =: 621 044, d'A=— 2865, d'A=10. De là résultent les coefliciens différentiels, ee = 0.01% 847 594 250, se = 2.405 9705, = — 0, 3600. Ces valeurs différent très peu de celles qu'on a obtenues immédiatement par les différences des termes consécutifs.

Soit encore w = 0.005, on aura à considérer les différences successives des termes de la Table qui répondent aux racines 1.500, 1.505, 1.510, 1.515, 1.520; ces différences sont d'A=84 304 232, d'A=10 104 715, d'A=—44 425, dMA=5374, et on en déduit les coefliciens différentiels

d'A ddA d'A Ts = 0.015 847 394 55, -77 —=0.405 979 32, 5 —=—0.359 89.

d, T. HE. 80

486 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

Ces valeurs diflérent peu des précédentes et semblent devoir être plas approchées de la vérité, parce qu’on a tenu compte des différences qualrièmes devenues sensibles par une plus grande valeur de w; cependant la valeur de « ne doit pas passer une certaine limite, et cœtie liée qu’il serait dificile de déterminer avec précision, dépend de la lei que suivent les différences successives de la fonction À.

158. Dans lexemple précédent, il est facile de vérifier la valeur obte-

nue pour # car en faisant 4 >= + dans la formule (55), art. 122, et observant que les logarithmes de la formale doivent être multipliés par le mo-

dule m—= ü pour les changer en logarithmes vulgaires , on aura 1 —s')ds ME ge 0 + ES 17 | L'intégrale du second membre, prise depuis x=0 jusqu'à æ= 1 ,‘est égale à 2—2M 2; donc | dA

Mais on a fait ci-dessus B—(1—C) ; ainsionaura = =m+#8B— 20; qui donne, en substituant les valeurs eonnues,

valeur qui doit être exacte jusqu'a la quatorrième décimale : elle prouve que les résultats obtenus par la méthode précédente, sont moins exacts dans l'hypothèse #= 0.005 que dans Phy] pothèse w =0,002.

154. Les formules précédentes donnent les coefliciens différentiels de la fonction A = log Ta, en supposant que a se trouve immédiatement dans la table; mais s’il faut trouver Les coefficiens différentiels de la fongtion X = log T(a+ wx), qui est intermédiaire entre les deux fonctions couséculises données par la table A= log Ta, A + d'A = log T(a + æ), voici comment on résoudra ce problème d’interpolation :

On a généralement

X= A+ xrd'A + * — d'A + d'A hetc.,

et si Pen fait ataxza, on aura, en supposant que æ send varie, da= «dx,

“ dX dx . + * «+ “ ..

d'où w7 = 7. Différenciant'donc la valeur de X par rapport à x, et réi-

térant les différentiations, on aura