CHAPITRE XVIL

AAA RAA AA AAA AAA AA AA ANS AAA AAA AAA, A AAA A AAA AA RAA AA AAA A A AA AT AA A AA A AAA SA AA A AE DAT RS AS

. CHAPITRE XVIL

Sur les Intégrales Eulériennes indéfinies de la seconde espèce.

158. Nous n'avons considéré jusqu’ici que l'intégrale définie fäx(1 D % terminée à la valeur æ=—1, et nous l’avons désignée par l'a; nous allons maintenant nous occuper de l'intégrale indéfinie qui se présente dans un assez grand nombre de recherches, et qui offre des difficultés particulières lorsqu'on veut la déterminer avec un certain degré de précision pour de très petites valeurs de x. Nous prendrons de là occasion de résoudre, tant par des formules que par des Tables suffisamment étendues, le cas dea=0 et

celui de 4a=—+, qui sont ceux des transcendantes n e à f: ee , sur les- n =} | | 4 x C à) quelles plusieurs géomètres se sont exercés.

$ I. Formules diverses pour évaluer par approximation Intégrale indéfinie fdx (2).

159. Nous représenterons par T'(a, x) l'intégrale indéfinie f' dx (log D ; prise depuis æ=0 jusqu’à une valeur quelconque de x ; et dans cette dénomination T(a, 1) sera la même chose que lintégrale définie déjà désignée par Fa. | Cela posé, l'intégration par parties donnera la formule

T(e, x)z æ (log D) + (a— 1) T(a—1, x), (48)

d’où il suit que l'intégrale T (a, x) peut toujours se ramener à une intégrale

semblable dans laquelle a est compris entre 1 et 2, ainsi que nous l'avons

fait pour l'intégrale définie Ta.

‘. Cette même formule donnerait la valeur exacte de T(a, x), si a était un 28 | E 82

5oa INTÉGRALES EULÉRIENNES , nombre entier; ainsi on aurait successivement T1, #) = x, T(2, x) = x log =: + x, T(5, æ) = x (log D'+ 2x log = + 2 , r(4, x) = æ (log + 37 (3, x), etc.

Nous n’avons donc à nous occuper que des seuls cas où a est un nombre fractionnaire ou irrationnel.

160. Soit log = 3, on aura la transformée T(a, x)= f—2"'e "dr, d’où résulte en développant l’exponentielle et intégrant,

Le 1 (a, x)=Ta— + era — — elc.; (49) cette formule doune la valeur de T(a, x) par une suite qui peut être divergente daus les premiers termes, et d'autant plus divergente que x est plus petit, mais qui finit toujours par être convergente. Cette suite est convergente dès les premiers termes, si æ n’est pas plus

petit que =; elle peut néanmoins être employée avec succès pour des va-

leurs beaucoup plus petites de x, telles que x = 5, ou même x= +; mais alors il faudra calculer un assez grand nombre de termes de la série. Par exemple, si + =0.1, il faudra calculer douze à treize termes de la série pour avoir la valeur de lintégrale approchée jusqu’à la cinquième ou la sixième décimale. On trouve de cette manière T(5, 0.1) = 0.056497.

À mesure que x devient plus petit, il faudra prolonger plus loin la suite pour obtenir un égal degré d’approximation, de sorte qu’il convient de recourir à un autre moyen pour évaluer l'intégrale avec précision, lorsque x est très petit, tel que 5, 5x, etc.

161. Il semble qu'on pourrait calculer l'intégrale T(a, x), lorsque x est très petit, au moyen de la formule (48) qui donne par des transformations successives

(a, x)=x{2 H(a—))z LR (a— 1) (a—2)3 7 +etc.] (50) Cette série étant continuée suflisamment , ses termesdeviendront alterna-

tivement positifs et négatifs, de sorte qu’on aura des valeurs alternativement plus grandes et plus petites que l'intégrale cherchée. Mais | comme la