CHAPITRE XV

nombre de termes suivans, rendent très difficile le calcal per la fornrule (53) de la fonction Z, pour une valeur de x aussi petite qu’on l’a supposée , et la difficulté augmenterait toujours à mesure que x serait supposé phus petit.

169. Pour obvier à cet inconvénient, on pourrait faire usage de Ja méthode des quadratures; mais on peut aussi, par d’autres formules, éviter ces calculs de quadrature, qui sont toujours (rès longs, surtout dans le cas dont il s’agit, si l’on voulait obtenir un certain degré d’approximation. Et d’abord la formule (50) donne, pour le cas de 4a= 0,

EE D ie

formule qui sera d'autant plus convergente dans les premiers termes, que z

sera plus grand. Mais comme le n°” terme de cette série est égal au précé-

n—1 = Li

qu'on aura % — 1 >2. Ainsi, dans le cas de 3= 10, dont nous avons déjà

parlé, la suite sera divergente dès le douzième terme.

Pour apprécier le degré d’exactitude que donnerait la formule, dans le cas dont il s’agit, il faut observer que dans une suite telle que la précédente, qui doit s’arrêter aux termes à peu près égaux T —'T", la somme totale est connue, à une différence prés de + T environ. En général, soit x=e"" ou 2=n, l’erreur sur la valeur de Z aura pour limite... E—=+. 2-84 nt x=}. . er", ce qui donne en logarithmes vulgaires log = — 2mn— ?În+ + Æ7r,m étant le module 0.43429, etc. I! s'ensuit que la valeur de Z déduite de la formule (55) sera exacte jusqu’à la décinrate de Pordre k, si Pon s À = 2mn +4 }ln—1}l}, et par consé- MA

dent multiphé par , on voit que la suite deviendra divergente dès

quent si — mn ou log x =—24+# 21

L’approximation obtenue par la formule (55) est donc de plus en plus grande, à mesure que z est plus grand ou x plus petit; elle donne neuf décimales exactes pour la valeur 2== 10 ou x == 0.0000454, mais à mesure que æ augmente, l’approximation diminue et devient bientôt insuffisante, comme on l’a vu dans le cas de x = 0.01 (art. 162).

Il nous reste à démontrer une-troisième formule dont l'application s’étend depuis les plus petites valeurs de x jusqu’à celles qui permettent d’employer avec avantage la formule (53). Cette troisième formule, qui s'exprime en fraction continue, est connue depuis long-temps des Analystes; mais

508 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

ils ne se sont point occupés d’en rendre le calcul facile, ni de fixer le degré de précision dont elle est susceptible, suivant le nombre de termes auquel on veut s'arrêter.

$ NL. Expression de l'IntégraleT (a, x) en fraction continue.

170. Considérons en général la fonction Z=T(a, x)= f2*-'dx, dans laquelle nous supposerons 4 positif et plus petit que l'unité, ce que l’on peut toujours obtenir par l'application de la formule (48); l’intégrale Z étant prise à compter de x=0, la quantité 3°", où a— 1 est négatif, sera plus grande pour la dernière valeur de x que. pour les valeurs précédentes, de sorte qu’on aura toujours Z=2*-"xT, T étant en général une quantité plus petite que l'unité, mais qui se réduit à l'unité lorsqu'on suppose x infiniment petit. Si l’on différencie cette équation et qu’on substitue les valeurs dZ—3°='dx, dx =—xdz, on aura, pour déterminer T, Péquation différentielle | ,

D Ga) ET + 1 = 0,

qu'il conviendra de mettre sous la forme suivante, en faisant 2 = P

ER + CRE me 0. (56) 171. Considérons plus généralement l'équation différentielle nn