CHAPITRE XVII
Eee + ET — m0;
et on aura en même temps 4 — 6”.
172. Il suit de là que, par des substitutions répétées, on obtiendra des transformées successives en T', T” , T”, etc., qui seront liées entre elles et dont les coefliciens seront déterminés par les équations suivantes:
r='+6%7", dia, 6 —=a+eé, Le = 1 + CCE, a"= «, = i+eé,
m=1+C"MT", amie, "mi +a+eé, pm '+H6XT", a"ma, C= 2 + 6, etc.
On pourra donc exprimer la fonction T par cette fraction continue
Tai (ite+6) EG HG HE)E (+ (ta) (a+ 6) (1 +etc., (58) où il faut remarquer que les dénominateurs des fractions composantes sont tous égaux à l'unité, et que les numérateurs forment la suite
(a+ 6X, (1 H6X, (1+a + EX, (2H 6X, (2-ha+ 6), etc.
dont la loi est telle, que les termes croissent alternativement de (1 — 4)
et de aÿ.
Cette expression sera l'intégrale de l’équation différentielle (57), si toutefois la fonction cherchée T doit se réduire à l’unité lorsque £ = o.
195. Cette condition étant remplie dans l’équation proposée (56), il y aura lieu de lui appliquer la formule (58); c’est pourquoi faisant 4 1 —a,
=0, on aura, pour l'intégrale générale Z = f2*—'dx, cette expression
en fraction tue.
Las (+ (ia) (1: 6 aa (+28: (15—4X-ete., (59) où l’on voit que les numérateurs des fractions composantes forment la suite
(1— aY,0,(2— a), 28, (3— a)f, 3€, (4— aX, etc., dont les termes croissent alternativement de af et de (1—a)£.
$ IV. Application a l’IntégraleT(o, x). s
174. Maintenant si lon fait a=—0, on aura, pour le cas particulier de Pintégrale Z= LÉ =, cette troisième formule T. I. 83
ÿ10 INTÉGRALES EULÉRIENNES ,
Lab i(nei( ei (r ati ag (+ i(ichete. (60), où l’on voit que les numérateurs Ÿ, £, 2Ÿ, 2, 3€, 3€, 4€, etc., croissent alternativement de o et de £.
Il n’y aura lieu d'employer cette formule que pour de très petites valeurs de x, qui laissent encore £ assez petit; car, par exemple, pour la :
# indifféremment la formule (53), qui ne cesse pas d’être convergente, ou la formule (60); le choix de l’une ou de l’autre dépend encore du degré d’approximation qu’on veut atteindre , et qui s’obtiendra plus facilement, tantôt par une formule, tantôt par l’autre. Pour mieux en juger, il faut faire voir quelle est la meilleure manière de calculer des fractions continues telles que la formule (60), dans laquelle les numérateurs augmentent à l'infini, tandis que les dénominateurs restent égaux à l’unité.
valeur x —=0.0183, qui donne 3= 4 et £ =}, on pourra employer
175, Soient …. à. les trois fractions consécutives qui résultent du calcul de la fraction vontinue, exécuté suivant les règles ordinaires en s’arrêtant à la fraction composante S on aura, d’après la loi connue,
P'=P-+uP, Q'—Q+uQ; de là PQ—PQ'=x(PQ—PQ), ou
VE, SNA Supposons la différence à ei positive =R°; on voit que la différence suivante + — À sera négative ; en l'appelant —R , on aura
On parviendra donc à la valeur 7 en calculant par cette formule une suite de différences r, 7’, r”..... R°,R, qui, à partir du premier terme À de la série, s’appliqueront alternativement en plus et en moins au résultat de tous les termes précédens ; d’où l’on conclura
