CHAPITRE XVII. bri

résultats alternativement plus grands et plus petits qué la valeur totale que l’on cherche, ce qui donnera à chaque instant une mesure du degré d’approximation auquel on est parvenu. Lorsqu'il ne manquera plus qu’une ou deux décimales pour obtenir le degré désiré, on pourra s’arrêtér à la dernière différence calculée R, et suppléer aux difiérences suivantes R', R", eto., en considérant la suite R°, R, R', R" comme une progression géométrique; dans cette hypothèse, faisant R= «R°, on aura...... Rom Re Re etc. R(1— œ eat — etc.) == — ; ainsi, au lieu de la R

différence R, on prendra ET Pour plus d’exactitude, on pourrait avoir re-

cours aux trois dérniers termes R°, R°, R, et faisant R°=—a°R%, R=aœke, on supposerait par analogie R’=—4R, et l’on déduirait le rapport æ&’ des deux rapports connus a°, &æ, par l’équation log &’ = 2 log æ—log æ; en-

suite, au lieu de R, on prendrait = = 176. Pour calculer facilement les différences R et éviter en même temps l'embarras des grands nombres auxquels conduirait nécessairement , dans ces opérations, l'accroissement rapide des indices g, voici comment il faudra procéder.

. Soit la fraction proposée Z=X:(1+p:(1u (in t(1pnsi(ietc.; les premiers termes, calculés à la manière ordinaire, sont :

X X X(1+pm) Xr + me: pen) 1148 14m 1H mA) et la série formée par la différence des termes consécutifs commence ainsi :

»etc.,

de AR PONTS dr GENGF ER

Pour la continuer indéfiniment, on prendra des auxiliaires @, À, 0,,À,, 6,, À,, etc., d’après la loi suivante, qui comprend celle des différences R,R,, R,, etc.,

0 =, À ==, R = XÛA,

8, — PAR À R, = RA,, 6, = À; ; As = “TT R, = RbA,, =, À = 146 B, = Rs, mur, À me R, = Ray; etc. etc. etc.

CEE INTÉGRALES EULÉRIENNES,

Cela posé, la valeur de Z se calculera par la suite

Z=X—RTER —R HR, —R, + ete,

qu’on prolongera jusqu’à ce qu’on ait obtenu le degré d’exactitude désiré.

177. Ces calculs, comme on voit, sont très faciles à faire par logarithmes; toute prolixité et toutes opérations inutiles en sont écartées; il suflira de calculer les termes X,R,R,, R,, etc., avec une décimale de plus qu’on n’en veut avoir dans le résultat, et l’on prolongera la suite des différences jusqu’à ce qu’elles appartiennent à l’ordre de décimales qu’on peut négliger, ou seulement jusqu’à ce qu’elles approchent de cet ordre, puisqu'on peut tenir compte des termes suivans par le moyen que nous avons indiqué.

Il est bon d’observer, au sujet de ces calculs logarithmiques, que pour

déduire chaque À du 8 correspondant, par l'équation = Le 14 0,0n Dre

faire usage des formules souvent mentionnées log 8= loga= d, d' = — logD=log(ad') Ed", d’où résulte log(1+-8), où — log A=log(1-+a) ED. On prend pour a le nombre de la table dont le logarithme approche le plus de log 8; il suffit que à ait au moins le tiers du nombre de chiffres significatifs avec lesquels R doit être déterminé; mais il faut que log(1 +4) soit aussi donné dans la table immédiatement et sans re

178. Comme on a en général R,=R,,. ——", il est évident que les

Ra ; différences R,R,, R,, etc., vont continuellement en diminuant, dès le commencement de la série, ce qui est une suite de ce que les indices pe sont supposés tous positifs; ainsi à mesure que la suite des difiérences est prolongée, l’approximation augmente de plus en plus, pourvu que les différens termes, À compter du premier X., soient calculés jusqu’au nombre de décimales qu’on veut obtenir dans Le: résultat, ou même au-delà, pour obrier À à l'accumulation des erreurs.

La formule (60) est donc propre à déterminer l'intégrale Z pour de très petites valeurs de æ, sans être sujette aux inconvéniens que présentent les formules (53) et (55), la premiére en offrant des termes divergens dés le commencement de la série, et fort grands par rapport au résultat cherché ; la seconde, en amenant assez promptement une divergence qui limite beaucoup l’approximation et la rend souvent insuflisante. Cette formule, cependant, est loin de conserver son avantage, lorsqu’on l’applique à des valeurs de æ qui passent une certaine limite; car sa marche se ralentit de plus en