CHAPITRE XVIL

5ax

1973/32049| 574| 15 *Â 022 3147 589| 14 “ 4 74 124 par 78 0.4310.34363 o4612|10 er ne 0.42l0.33281 | ra 3666629664 6 2, 101 Lo./41l0.32215 d4go Rss RE IE 0.40/0.31163 80472 RS 27728 M E 0. sn. 0.29102 sen 1009 73351 114 2321| 60 £ ee me ire ul L.35l0. NX 167 13 12523| 14478 249701 7141 9 0.34l0.25144 70 9899 ) 24367] 12 98045! 13293 15564 a 7 7 .33l0.24188 3532 2 20322 12 Birés 12114 63369 2 pes Le > .32l0.23245 29210 Se 1570| 12 12638 10933 oies Pt: .3110.22314 87640! 9 12 Oroÿ r4o B6180 22072] 744|9|__|'30lo. 21907 18708] 905 0722 12 51 863: “0825221328 793 5 EN PR 712 43434| 7292 29580|20575| 758 12 36142 o1 50155 gs ue 12 30123 4 Fe : 7 â 12 25427 33 IR 772 Fes. 12 22110 184 ES DL re 12 20270| + 289 2911 6743 0.23l0.15322 04988 12 dy — 1389 41572 0.22|0.14503 27240 12 21370 3211 0.21|0.13696 69473 7| 12 24561 SH.

{o.19l0.12120 21260 12 37231 9932 —|—{0.1Ëlo. 11350 39239 12 47163 127 j 0.15l0.10592 94449 12 59937 160 0.1 10-0984 22 12 Ta L 10:15/0.0g11 132 12 99091 11 0. 0.14 0. 08305 97 7424 13 20202 ac Hé a a0l0:13l0. 07689 31567 13 50154 so | pe ns . 30! 2910: 12/0.0009 85972 es 95441] 13 86793 5131 4 GG GLS 240330061205! 2310-1110. 06315 90531] 666 08048! 14 31924 56088 S ne foson 180: 182 eee LEEL o.10|0, 05649 B1883| 65: 76724) 14 68012 __70672 = | 10.09 0.049098 05159! 636 88712! 15 58684] 9oB21| 2g1g2|1. . 7. 1.46 no 2 9 0.0Blo.04301 16447! 621 30028! 16 49505 1 20013 N sy 53 EU besE: }| 1,341 4lo-07/0.037 139 86419 Go4 80523! 17 69518! 1 65068 À 73: 513 302 1t4 136 0.00 0.031 35 0589b| 587 11005| 19 34586 2 {1004 6 0815132066 y 109! À 0.05 0.025347 94891 567 76419 . 75590 3 876: 87609 RRQ 6 3674035082 /1925[105| 16f°-24[0.01980 18472| 546 00829 “25 63199 f ; 6 Si L 33107 1B2o 89 0.0310.01434 ia 520 37 630 33 12004 (8 Bbrol31287 1731] 78] 3fo-02/0-c0p1à fees cd se 5 5 37329 29556 1643 F4 0.00 ed sé 15 2776" 27913,1568| 66

522 INTÉGRALES EULÉRIENNES, 187. Ainsi étant proposée la fonction Z = fdx (Ti, si l’on fait.....

(u)= t,ouxæe—", cette fonction sera aussi exprimée par la formule

ZL= yx— 2[e-t"dt, où l'intégrale doit être prise à compter de 1=0;on a donc le choix entre les deux expressions, l’une par la variable x, l’autre par la variable €.

La première partie de notre table a été calculée, selon la seconde expression, pour toutes les valeurs de t, de centième en centième, depuis £—=0 jusqu’à t= 0.50. On l’aurait pu continuer jusqu’à une valeur plus grande de £, par exemple, jusqu'à #=3, comme l’a fait M. Kramp, dans une table de l'intégrale /e—"dt, placée à la fin de son Ænalyse des réfractions. Quant à l'intervalle depuis = 3 jusqu’à = © , il paraît immense, cependant il n’embrasse, par rapport à la variable x, que le petit espace depuis x = 0 jusqu’à x—=e-9=0.00012 312 etc.; on y suppléera aisément en calculant directement, dans chaque cas particulier, la fonction Z par la formule (63).

188. Étant connue par la table la fonction Z=A , qui répond à la variable æ=a, si l’on veut avoir la valeur de la fonction pour une variable peu différente x—=a— 4, il faudra d’abord, pour la facilité du caleul, exprimer les

fonctions par la variable t. Ainsi faisant x—=e-t",out= (4 Dh » puis déter-

minant b et 6 par les équations ë= (1), b+6 = (4), la question sera de déterminer la différence J'Z d’après l'équation Z=y/7—2/fe—"dt, en supposant que £ prenne successivement les deux valeurs #, +6.

Soit donc {= b + w ; on aura, en observant que a=e—?",

k d'Z= 2afe— be" do; cette intégrale doit être prise depuis w=—0o jusqu'à w=6, et comme la quantité 6 est supposée très petite, on pourra développer d’abord le facteur e—**, ce qui donnera

Je-sbs- do = fe bados — fe bo des + à fe bete — etc. ;

ensuite développant e— ès dans les différens termes, excepté dans le premier, et faisant, pour abréger, 266 = À, on aura la différence cherchée

CHAPITRE XVII. 523 = er) — 208 (3-5 + — LE + ec) + 24€ ( — à + Fe 7 — ete.) — 246 Ç —5+ eto.) + za ( — etc.) — etc.

Chaque ligne de cette formule forme une suite fort convergente, et les differentes lignes décroissent à peu près comme la progression 6°, 65, 67, etc.; il suffira donc presque toujours de calculer un petit nombre de termes de cette formule, pour avoir une valeur très approchée de la différence d'Z, d’où Pon déduira Z= A — d'Z.

Cette formule servira à interpoler la seconde partie de notre table, dans les cas où la série des différences ne décroîtrait pas assez rapidement pour donñer un résultat exact jusque dans les dérnières déciniales. Cependant si æ n’était pas plus grand que 0.02, il serait encore plus simple de calculer directement la fonction Z par la formule (63).

189. Au reste, pour donner un exemple du calcul de la formule (64), nous allons déterminer la fonction Z(0,02) où x=0.02, par le moyen de la fonction Z(0,03) supposée connue, ce qui est un des cas les plus difficiles que puisse présenter l'application de notre formule.

Dans le cas dont il s’agit, on aura 4a= 0.05, a—4=0.02, =, (b-+ 6) = 150. D’après ces données, on calculera le premier terme (1) de la formule, comme il suit : ‘ |

Bb = 1.873258 054495 6..... 9.022144 041883

@ — 0.10530 292114 À.....9.59591 092149 Mis: 9.635778 431130

LE APPPE 9.253609 5252-09

524 INTÉGRALES EULÉRIENNES,

1 — 67 = 0.352589 972474 ‘| 9.828792 450444 son log...9.51308 3gg141

En second lieu viennent les termes de...,.. (a,1) — 2 335346 la suite | 519 gré si is : 292) + 0794 5 3'2°5 2:3°6 ) 520 46868 468688 ue nous désignerons successivement par (2,1); (2,3) — 108967 Er (2,5), etc., et qui se déduisent aisément, 520 359721 chacun de celui qui le précède. (2,4) + x is Les termes de la seconde ligne, savoir... ... 520 371658 —+- 246 4 — {+ : + —etc.), étant désignés 2 — 1009 de même par (3,1), (3,2), etc., et sembluble- (2,6) + 69 ment ceux des lignes suivantes, qu’on calculera 520 370718 jusqu’à ce qu'ils ne dounent plus rien dans le (3,1) + 7769 dixième ordre de décimales, on aura les résul- (3,2) — 2953 tats ci-joints. (3,3) + 431 La valeur de d'Z, qui est le résultat total de (5,4) — 50 la formule, étant retranchée de la valeur connue 520 376315 de Z(0,03), on trouve celle de Z{(0,02),la même (4,1) — 21 qui est inscrite dans la table, et qui a été cal- (4,2) +- 7 culée directement par la formule (16). J'Z—0.00520 37630

$ VI. Zntégrale complète de l'équation (57).

190. Les recherches précédentes nous conduisent à déterminer les cas d’intégrabilité de l’équation différentielle de Part. 171.

Si l’on suppose qu’on ait en même temps T = 1 et £ —0, la formule (58), exprimée en fraction conlinue, sera, comme nous l'avons déjà dit, l'intégrale de l’équation (57). Si l’on suppose, de plus, que l’un des deux nombres æ, æ+6, est un entier négatif, il est visible que la fraction continue se