CHAPITRE XVII
terminera d'elle-même, et qu’on aura ainsi la valeur de T exprimée exactement par une fonclion rationnelle de £. L’intégrale étant connue pour chacun de ces deux cas généraux, il sera facile d’avoir, dans la même supposition, l'intégrale complète de l'équation (57), Laquelle ne po plus qu’on ait en même temps T=1 et £ =0.
Ev effet, par le tableau analytique de l'art. 172, on voit que l'équation différentielle proposée en T, est liée avec les transformées successives en T’, T", T”, etc., de manière qu'il suflit de résoudre complètement une de ces équations, pour résoudre toutes les autres, et particulièrement léquation en T. Or, par la loi des transformées successives, il est évident que les coefhciens qui élaient æ& et 6 dans l'équation en T, deviennent & et n+-6 dans la transformée paire en T*, et qu'ils devidavent 1—aetn+a+6 dans la transformée impaire en T'+*,
191. Soit donc 1°. 6——n; pour avoir les transformées successives on prolongera la suite des équations,
k=:i+C+or, + (1 + EXT", æ =: SE LE
etc,
jusqu’à celle qui donne la transformée en T—:, savoir :
= mini HOT 1 RE — HT, cette transformée sera
dE! (r — «} + 1 : ï . H td pes +(e—iX— up 0:
Enfn si l’on fait — mn =1+CY, on aura pour dernière truusfurmée,
mr
Celle-ci étant linéaire par ue à v on en tire
Late (A—ft=isd à), À étant la constante arbitraire. |
536 INTÉGRALES EULEÉRIENNES ,
Eliminant donc successivement T', T'.,:, Te, Y, At thoÿen des équations précédentes, on aura L'intégrale de Péquation piébosée ci T, laquelle contiendra la constante arbitraire A, ét sera par ts is éolnplète.
192. Dans cette intégrale, outre le-térme AË< L” qui. éppartient àäux
exponentielles ordinaires, se trouve comprise la transcendante f RS dÿ qui, pour les valeurs positives de Ÿ, semble différente des transcendantes T(a, x); mais pour les valeurs négatives de £, ces deux transcendantes sont de même nature.
En effet, soit t= — 5, on aura /{— hé =(— 1e foie L -
soit encore e ie: ou = =l", on aura
fr € dre jèx (1 7) 1e x);
dans ce même cas on aurait :
g=mé[AZT(«; e y.
Ainsi le simple changement def en Lo, suit pour que l'intégrale complète de l’équation proposée en T, puisse être exprimée. pur la fonction T(a, x), 1 ’ en faisant x—e ‘; elle satisfera à toutes les valeurs positives de &, ou à toutes les valeurs négatives. de£. Ensuite si l’og change lesigne de o&, ce qui :
rend € positif, la fonction T{a, æ) supposera x = €, c'est-h-dire æ> 1, vt elle se déterminera alors comme on l’a fait voir dans l’art. 164. Donc des tous les cas, Pintégrale: omplète” dé équation proposée s’exprimera par la transcendante connue T(a, x),en donnant à cette transcendante toute l'ex tension dont elle est suscéplible. ADS
193. Soit 2°. a +6 —p, les transbrmées successives devront être prolongées, suivant la loi de l’art. 172, jusqu” à la a en Le qui sera L'aT** | COL Te La - . (n + EX — mr = 0.
E — cn
Dans celle-ci, faisant lon nouveau -— a
= 1+ ms, on aura le dernière trans— formée
