T. II

Em, = Ur, Si ôn' élimine m de ces déux équetions, on en

déduira y* = 6? (1—x*), c’est l'équation de lellipse rapportée à son grand axe. Ainsi en faisant CA = 1, CB—6, et décrivant sur ces deux demi-axes

Pellipse AMB, si on désigne par s l'arc AM compté de l’extrémité du grand

axe où w = 0 jusqu'au point M dont les coordonnées sont x et y, cet arc servira à exprimer l'intégrale Z, dé sorte qu’on aura Z ou 5 dp . c° sin # COS E(c,p}=s— Ts + ne) 20 Cette équation n’est antre chose que le théorème de Fagnani que nous avons donné tom. I, art. 36. En effet, si on détermine l’are BN compté de l'extrémité du petit axe, par les coordonnées CQ = sing, NQ — ao en

même temps que Parc AM l'est par les coordonnées CP — = AS = : b*sinye di nai

PM= —— VG = cn) on aura, en vertu de ce théorème,

c'sinpcoss BN= AM+ TEE LS Ainsi l'application de notre formule conduit dans ce cas à un théorème connu.

79: Exemple IT. Cherchons maintenant la courbe qui par ses arcs peut

servir à exprimer l'intégrale Z= he VE ea) , intégrale que nous avons

coutume de représenter par Fc, }

fant frice dans ce cas pa (1 — 6 sin* je)", ce qui daneers les valeurs syivantes des. coordonnées xetr:

qu (br ecosap),.

- {1 — c'sin* y)

pm fe sue à

(1 — c*sin* u)

Cette courbe qui appartient au sixième degré et dont la forme se rapproche de celle de Pellipse, tant qu’on a c'< 3, est la même que nous avons déterminée d’une autre manière dans la théorie des fonctions elliptiques, chap. VII; elle donne Z ou LOD erree

(i— = sine)"

SECTION 11. Sr et la fonction complète Fees',s étant Je quart de la courbe compris depuis & = 0 jusqu’ pui.

Le cas de c* = }est généralement résolu, cemme on rit, par la lemniscate qui n’est que Fa quatrième degré ; sétidont les aros éxpriment directement la fonction F sans addition d’aucune quantité algébrique, La volution ‘du même cas déduite de la formule précédente, donne une courbe du rue degré dont l'équation est >= «(2 +xi) vi #), ou pain). Cette courbe est moins simple que la lémniscate, mais elle a l'avantage d'a avoir une figure peu différente de celle de? ellipée. RS

80. Il est très remarquable que notre nouvelle formule conduise si facilement à la solution d’un problème que nous avons regardé comme fort diffcile, et qui paraît n’admettrt aucune autre solution; celui de trouver une courbe algébrique dont les ares réprésentent générlement la fonction du tique de première espèce F(cy 4).

En général on voit que toutes les fois que p sera une fonction siens de sin get cos pe, la courbe dont les arcs servent à exprimer l'intégrale fpdu, sera aussi une courbe algébrique. Ainsi la quadrature d’une courbe algébrique peul Loujours se réduire à la rectification d’une autre courbe algébrique : proposition dont l'inverse seulement était connue.

8r. Exemple LIT. Soit proposé de trouver la évuibe algébrique dont lés

- arcs représentent la fonction elliptique de troisième éspècé FI (2, 5 h) = dis

(+ nsin° a) V(1—c"sin" sm)"

Il suffira de faire p = (1 + n sin pe)" (1 —c*sin® pu) 5, à, et la substitution de cette valeur dans les équations (11) donnera les valeurs suivantes des coordonnées de cette courbe, où l’on a fait y/(1 — c'sin*u)= 4.

cos pe

EE GFnsin 98 L' + (5n — 20°) sin°u — fer n sintye] ,

Y = TT [re — on (5n— 1)(1#c")sintu— fcnsiniu),. Ou aura ensuite pour la fonction [ cette expression

an sin #COS# Fe csinmcoss n(, ch)=s+r Ænsin'x) À (1 + nsin°x) A3?

et si s' représente le quart de la courbe compris depuis # = 0 jusqu'à u—=;7,0n aura la fonction complète IT'(n,c)= s'. On trouverait de la même manière la courbe algébriqite dont les #res ser-

592 APPENDICE, viraient à exprimer, dans le cas des paramètres imaginaires, la double fonetion de troisième espèce. F #

| z=1. À +.B sin" y ___de a" + 246 COS 8 sin ere VU —e sin° x)"

82. Exemple IF. Soit p= a sin pe tang* b, on aura x 24 tang° pe, J=3atang'u et s= = — 24.

On déduit de ces valeurs l’équation ax*=# y ; ainsi la courbe dont il

s’agit est la seconde parabole cubique.

ab sin se cos ps

83. Exemple V. Soit p= a cosu+ bin pe — Tr cine)? onaurs, en supposant: 4° = b*—+e, | ab" sin° pe (a*— 0" sin°*#)* ?

ab cos je

= b — —— 7e (a—0 sin w)à

(at € sin° ps)" D'après les valeurs de x et de y, on trouve ne l'équation dé la courbe peut être mise sous la forme (x — + (1 —?) =1, et alors on voit

que cette côûrbe est la développée de l’ellipse.

84. En général, si on prend la valeur de p telle qu’on puisse obtenir algébriquement l'intégrale /pdu, l'arc s dont cette intégrale dépend, s’exprimera aussi algébriquement. On produira ainsi une classe infinie de courbes rectifiables, comme sont toutes les a des courbes algébriques.

Soit alors /pdu = 9, ou p = “L , On aura pour décrire l’une quelconque de ces courbes, les équations

J = SL in pe SE cos pe, et la longueur d’un de ses arcs sera donnée par la formule s=1+% + const.

85. On voit, par ce qui précède, que toute quadrature proposée se ré-

duit à la rectification d’un arc de courbe compris entre deux points donnés, ce qui peut contribuer à simplifier la construction géométrique d’un grand nombre de problèmes; car en général on peut obtenir plus facilement une première valeur approchée d’un arc de courbe dont on a l'équation que celle d’une quadrature. Muis s’il s’agit de calculer avec beaucoup de précision la longueur d’un arc de courbe proposé, il conviendra de revenir aux formules du $ 1, pour déterminer l’arc s par le moyen de l'intégrale /pdw. C’est ce que nous allons développer dans le $ suivant.

$ IV. Formules pour calculer avec précision la longueur de tout arc de

courbe propose.

86. Soit comme ci-dessus, l’arc AM=5, la perpendiculaire CZ abaissée du point fixe C sur la tangente en M =, l’angle TMP que fait la tangente avec l’ordonnée MP, =; on pourra regarder p comme une fonction connue de l’angle x ou des lignes trigonométriques qui déterminent langle # et faire en conséquence p= F(y). Cela posé, on aura la longueur cherchée TRE

oo s = {pd + ke — En , l'intégrale /pdu étant prise de manière qu’elle s’évanouisse au point A.

Cette formule se simplifie en supposant que l’axe des abscisses CP, qu’on peut prendre arbitrairement , se confond avec la perpendiculaire à la courbe menée par le point A, car alors on aura dans ce point w=0o, et

Po, ce qui donnera s— fpdp +.

Maintenant, pour avoir la longueur totale AMB = 5", il faut prendre l'intégrale fpdu depuis le point A où nous supposons &—0 jusqu’au point B où nous supposerons w == Ô, C’est ce qu’on peut faire au moyen des formules du $ 1; elles donnent d’abord, en prenant le nombre entier n à volonté, les valeurs approchées /pdu— 6M, /pdu =86N, dans lesquelles M est la moyenne entre les n quantités suivantes :

1(Fo+ F0), F£, F2... F6;

et N'est la moyenne entre les #7 quantités

Po Or Op... pete

an? ‘an? 2

Fig. A.

Fig. B.

On aura ensuite des valeurs plus exactes de l'intégrale /pdu en applsquant les corrections nécessaires aux quantités ÊM et ON.

87. Mais il faut avant tout examiner le cas particulier où nous avons déjà fait observer que le calcul n'indique aucune correction , ce qui ne veut pas dire que la correction est nulle , maïs que les quantités ÊM et 8N approchent beaucoup de la vraie valeur de l'intégrale fpdu; qu’elles en approchent à peu près également l’une en plus, l’autre en moins; que le milieu pris entre ces deux quantités donnera environ deux fois plus de chiffres significatifs exacts que l’une des deux séparément; qu’enbn, après l'essai fait sur des valeurs assez petites de 7, qui feront voir combien de décimales exactes on tire, soit des valeurs ÊM et 6N prises séparément, soit de leur moyenne +(8M- ON), on sera à portée de juger quelle est définitivement la valeur qu’on doit donner à # pour obtenir tel degré d’approximation qu’on voudra.

Dans ce même cas, les quantités ge et se sont nulles, de sorte que

l'arc entier s' s’exprimera par l’ane des deux valeurs ÔM et 8N, ou plans exactement par le milieu pris entre elles.

88. Ces résultats s’appliquent immédiatement à toutes les courbes ovales qui comme l’ellipse ont la propriété d’être partagées en quatre parties égales et semblables par deux axes rectangulaires, qui sont en même temps perpendiculaires à la courbe.

Alors, en faisant 0Û=—2#, le quart d’une telle courbe sera exprimé par = M ou =N, en calculant M ou N d’après une valeur de nr qui réponde

au degré d’approximation qu’on veut obtenir. Ainsi le calcul donne immédiatement par les quantités M ou N, le rayon du cercle égal en circonférence à la courbe proposée.

Il ne s’agit dans chaque cas que de chercher la fonction p ou Fy qui représente la perpendiculaire menée du centre sur la Llangente au point où l’angle que fait cette tangente avec l’axe des ordonnées est w. Avec cette fonction Fx on formera les 7 quantités dont la moyenne désignée par M ou par N sera la valeur du rayon cherché.

Telle est la proposition générale dont nous avons parlé dans l’art. 74; elle comprend comme cas particuliers, non seulement le théorème de Jean Bernoulli sur la circonférence de l’ellipse, mais encore tous les théorèmes semblables qu’on pourrait déduire de la considération du motus reptorius de

cet auteur, appliquée aux courbes composées de quatre parlies égales et comme l’ellipse; théorèmes qui sont limités par ce genre de construction au cas où 7 est une puissance de 2, mais qui, suivant notre proposition , auraient lieu également pour toute valeur du nombre entier n.

89. Nous observerons encore que la fonction P(A, k), considérée dans la section 1, sous le nom de P(A, n), a pour expression générale..... d, +: s ; ; - 2 £ 1h RTE Le LV celte intégrale étant prise depuis w=0 jusqu'à RS. | DE (1 + a 24 00 24e) struit une courbe qui par ses arcs serve à exprimer l'intégrale /pdu, cette courbe sera composée, comme l’ellipse, de quatre parties égales et semblables ; de sorte qu’on.aura entre les limites assignées fpdu = =M ou /pdu = = N, erpar suite P(A, EM, où P(à, À)=N, ou plus exactement P(A, k)}=:(M+N). * Ainsi, la fonction P(A, 4) dont nous avons développé les propriétés, se rapporte au cas le plus simple des quadratures, el sa détermination ne dépend que des quantités M et N, qu'on peut former immédiatement au moyen de la fonction p=F(x) et du nombre entier # pris arbitrairement.

. . “ Q La “ d'P # Il en serait de mème des cçoefliciens différentiels » Ga» elc., qu’on déter-

m= 7, Or, si d’après la valeur p=F (x) = , Ou con-

minera semblablement après avoir mis chacun d’eux sous la forme ° fpdu.

go. On peut remarquer enfin que le résultat trouvé pour les courbes ovales composées de quatre secteurs à angle droit, égaux entre eux et placés symétriquement autour des axes communs, s’étend à une infinité d’autres courbes composées d’un même secteur qui se répète un certain nombre de fois dans des positions alternatives. Soit 8 l'angle de ce secteur ; si 8 est commensurable avec l’angle droit, la courbe rentrera sur elle-même après une ou plusieurs révolutions autour du centre commun de tous les secteurs ; mais si 6 n’est pas commensurable avec l’angle droit, la courbe fera une infinité de révolutions autour de son centre. Dans tous les cas, Parc de courbe qui termine le secteur dont l'angle est 8, a pour valeur la quantité 8M ou 8N, c’est-a-dire, qu’il est égal en longueur à l’arc du secteur circulaire dont l'angle est 8 et qui a pour rayon la valeur de M ou de N donnée dans l’art 85. En vertu de cette observation, notre théorème se trouve appliqué à un système infini de courbes, dont les ovales, à quatre parties égales, ne sont qu’un cas particulier.

Fig. B.

91. Si nous revenons maintenant à la détermination générale de l’arc s' dont les limites s'étendent depuis x —0 jusqu’à #=—=08, nous verrons qu’il

suffit d’ajouter le terme u à la valeur de fpdu ou fFdu, donnée dans l’art. 59. On aura donc pour cet objet les deux formules suivantes dans

lesquelles =>,

dE at Fm dF s' = 0M + = 12 E- + 720 TT dur UE 7e! .fd 5).

s' = ON + EDS D ent 14

Ces formules se simplifient beaucoup, si l’on a . = 0, c'est-à-dire, si le

rayon vecteur CB est perpendiculaire sur la courbe, au point B, comme le rayou vecteur CA l’est au point A. Or, cette condition est toujours facile à remplir, parce qu’on peut prendre pour centre des coordonnées, l'intersection des deux perpendiculaires à Parc AMB, menées par ses deux extrémités À et B. Alors on aura les valeurs corrigées «tt /dF dFo

=M+ 720 \dui 4 ,

s' = 6N — ee a (n —

lesquelles pourront être portées à k degré d’exactitude qu’on voudra, en prenant w assez petit ou n assez grand pour que le terme suivant de la correction soit négligeable,