L’ordonnée appelée a so F ou F(x) est y/(1 —c*sinx) ou

A(x) dans le premier cas et TC dans le second; ainsi nous avons d’abord

à calculer les valeurs de Ax qui répondent aux valeurs successives x = : = ; = 42 Gr, Ces ordonnées et la demi-somme des extrêmes - 1(4o + Air) ou A1 +6), sont les z termes dont la somme divisée par n sera la valeur de M pour l'intégrale J'adzx = E'c; leurs inverses = æ& la demi-sofnme des extrêmes (x + 5) sont pareillement les 7 termes dont la somme divisée par » sera la valeur de M pour l’intégrale = == F'e.

Enfin les valeurs x = 2 2 Te (== 1) serviront à former les va-

leurs de Ax et , dont la somme divisée par » sera la valeur de N pour les .

intégrales fAdx et J£.

Voici un tableau qui contient les valeurs de ces quantités pour le gas de n= 4.

Log As.

.00692 20567 314798 | .06066 36145 98780 .15384 16443 5ogaan .23683 05334 644976

M 4 me

On peut remarquer que les valeurs logarithmiques de A contenues dans ce tableau peuvent se vérifier assez facilement par Je théorème de Côtes, En effet, puisqu'on a A=y/(1 — c'sin*x) == /G —© + Ÿ eos 2æ), cette quan tité peut se mettre sous la forme B4/(a*-} 24 c68 2x + 1), en faisant B— à 1 Fée a= THÉ Si ensüite on donne à id les valeurs moon ë T à > 5 le produit des quatre valeurs de A sera Bt ÿ/{1 + at); la somme de leurs logarithmes sera donc 4logB+;log(1+at), ou 4 log B + av (1 — tat + a — etc.). Dans le cas de notre tableau où l’on a =0,8, B= 0.9; la quantité précédente se réduit à 9. 81697 00428 017545, ve

qui est en effet la somme des tp logarithines qui répondent aux valeurs supposées de x. 4

68. Avant de faire # — 4, valeur pour laquelle le tableau est calculé, faisons n—2, valeur trop petite pour donner un résultat suflisamment approché, mais qui féra voir le progrès de l'approximation en passant de’ cette première valeur à une valeur double. AL les quantités M et N nécessaires pour calculer les valeurs f'Adx = +7M, fAdr=}#N, seront composées

de deux termes seulement, savoir :

M=ifi(ti+é)+air], N=1}(A: mais).

Substituant les valeurs numériques données dans le tableau, et la valeur 1(1+6)= 0.9, on aura

Ces valeurs ne diffèrent que de 2 unités décimales du 5®* ordre, et le milieu entrelles donne pour 1 la valeur approchée

1 = 0.90277 99272 275753, laquelle n’est en erreur que de 5 unités décimales du 10”* ordre. On a peine à concevoir comment le calcul de deux seuls trapèzes, fait de deux manières différentes , peut donner un résultat si exact.

Faisons maintenant 7 = 4, et appelons M’ et N' les nouvelles valeurs de Met N, nous aurons M'= : : : + ÿ àr |, | died pie 7 + AZ].

La première quantité est la même chose que la moyenne 2(M + N}, dont

nous venons de donner la valeur, la seconde se trouvera par les quatre dernières lignes du tableau, de sorte qu’on aura ,

Ces deux valeurs ne différent que d’une unité décimale da g"* ordre, et le milieu entr elles donne pour I la valeur plus approchée

1=0.90277 99277 7219585, laquelle s’accorde parfaitement avec celle qu’on a déduite de la théorie des fonctions elliptiques ; car la différence de ces valeurs n'étant que d’une unité décimale du 15®° ordre, on ne peut prononcer de quel côté est l’erreur.

69. Par des calculs semblables, appliqués à la fonction complète... .

F'e= É ; on trouvera d’abord pour le cas de n = 2, les formules

M=iRG#)+ ENG +),

d’où résulte

ensuite pour le cas de n= 4, on aura

Par un milieu pris entre ces deux derniers résultats, on aura la valeur Li chée

RE = = 1.11456 44874 Ssoubs, | laquelle s’accorde suflisamment avec celle que donne la théorie des Goctions elliptiques, puisque la différence est à peine de 3, unités décimales du 15%° ordre.

Si quelque chose peut étonner dans le résultat de ees calculs, c’est qu’on: puisse obtenir une si grande approximation avec une valeur de # aussi petite que n =—=4, c’est-à-dire en divisant l’espace qu’il faut quarrer en quatre tra+ pèzes seulement , et évaluant ces trapèzes de deux manières différentes.

Ea calculant, comme. nous l’avons fait, les valeurs de M et N pour-le tas de n=—4, on trouve que pour l'intégrale /Adx ces deux valeurs ne diffèrent: que d’une unité dans le g”° ordre de décimales, ce qui doit faire présumer que Ja moyenne entr’elles sera exacte jusqu’à la 17" décimale, chose que nous n’avons pu vérifier, parce que lés calculs du tableau ne sont exacts que jusqu’à la 15°° décimale au plus. L'approximation est un peu moindre pour

l'intégrale [F & 5 Car les valeurs de M et N calculées en supposant n= À, dif-

férent entr’elles de deux unités décimales du 8% ordre, d’où l’on doit conclure que la moyenne ne sera exacte que jusqu’au 15"° ordre.

70. Au reste, on peut s’en tenir à ne calculer qu’une seule des dette M et N, sauf à lui appliquer la correction dont nous avons donné la formule art. 64, en la réduisant à son premier terme, Or, ce premier terme = 2A,, se trouvera toujours avec une exactitude suffisante par la formule de l’art. 17e

“Pour cela il faut réduire le binome 1 — c* sin* æ à la forme, .:..... B°(1 + a°— 24 cos 2x), ce qui se fera en prenant B—1(1 + b), et...

a=— (=): ; on aura, donc (1 — c*sin/ a =(— + (1+a— at

Développant ensuite les deux membres par les formules des art. 1 et 63, on aura entre les coefliciens d’un même cosinus l’équation générale À, =

£ + dE P(A,— #). Prenant leslogarithmies de. chaque membre et. mettant

586 APPENDICE, au lieu de log P(A, — 4) sa valeur donnée par la formule (17), on aura

log A,= à loga— (k + 1) log À + #log b— log T(— 4) 10 +) m (E* 4 Em (ee . +:

2h — 5 (2k + 1) 1 Qf)à 1°

Quant au signe du coefficient A,, il sera le rnême que celui de la quantité BT(—k).…, | -

71. Appliquons cette formule à la détermination de la fonction complète E'c=—fdxy/(1—c sin x); cette quantité étant représentée par = A. > nous avons déjà trouvé pour À, la valeur approchée.

laquelle résulte de la supposition n = 2, et nous avons fait voir (art. 6/) que la correction à appliquer à cette valeur est— 2A,, ou — 2 A,. Faisant dont Aï=z4, b=0.8, am, k=t, T(nmA)=T(hamoyr, on trouvera par la formule précédente log A,=4.7271088 ; et parce que at T(-«+$) est négatif, il faudra que A, soit négatif, on aura donc À, = — 0.00000 53349, ce qui donne la valear corrigée 2e

Ve: M—2A,=0.90277 99263, :

valeur qui n’est en erreur que d’une unité décimale du g° ordre, C'est déjà un assez grand degré d’approximation obtenu en divisent en deux parties égales seulement la base + 7 de l’espace qu’il faut quarter, et mesuraut lès deux trapèzes curvilignes qui en résultent comme s'ils étaient rec= tiligaek, On conçoit dès lors qu'une approximation beaucoup plus grande résultera de la sügposition n=+ 4, laquelle donne

La correction qu’il faut appliquer à cette valeur étant loujours représentée par—2À,,, on la calculera par la formule précédente, en faisant À —8, et conservant les autres valeurs de &, a, k et T(—4). Il en résultera log À, —0.4305944, d’où As=—0.00000 00002 725074, et la valeur corrigée | | 7 77 Mæa4,e0.90277 90277 721887 ; el Nu

valeut qui-ne diffère ide la véritable que d’une demmi-unité décimale du quatorziènre raré. | Ù

72. Si on veut appliquer de semblables corrections aux valeurs de M déjà

: . SECTION H. 587 trouvées pour la’ fonetion eomplèté Fe f'dx Au il faudra faire —e.8, CESR k—=— ! TR pr

La première quiéur de M ehéulée pour le cas de n—37, est M=1.11465 76304 ; faisant donc A=on=4, on aura par Î4 formule précédente log A,=5.668038: ; et puisque a T(—À) est positif, À, le sera msi, ‘ét on aura À,=0.0000{ 65627, , ce qui donne Îa valeur corrigée

| M—aA,=t. 11456 4505, -

tie n 'est, en erreur que de 2 unités décimales de 8° erdre.. La rexoode

valeur trouvée pour M, savoir :

suppose n== 4; dans çe cas, la convection nr creuuetS 00107 ” 97579» L

et la valeur corrigée .

| Mrs Ant 11408 44874 84006, laquelle n’est en erreur que d'une unilé décimale du 13° ovdre.

73. On voit, par ces exemples, que l'effet de la correction est non-seulement de déterminer le nombre de décimales exactes qui se trouvent dans ke valeur de M oudans æelle de IN, iuis encore den #jouter cmqon six de-plus,-ce qui donnera-un résultät aussi-exact qu'oir votdra , en prenant une valeur convenable de 7. Quand on calcule à'la fois kes ds quantités M et N, le milieu pris entre elles approche plus da vrai résultat que l’une des deux augmentée ou diminuée de le æorsection, mais cet avantage ne s'obtient que par un calcul plus long.

74. On trouve dans les Œuvres de Jean Bernoulli (*) un, Dénls- Fou calculer par approximation le rayon du cercle égal en circonférence à une ellipse donnée. Ce thévrème fort remarquable conduit aux mêmes valeurs de Met N que donnent les précédentes formules, en prenant.pour 4 pa terme. de la progression 2, 4, 8,16, etc., ce qui permet de, déterminer géométrique ment toutes les quantités ÿ/(1. me sin*x) dont se composent les valeurs de M et N.

Jean Bernoulli n’a point doué a démonstration. de son théorème; il a indiqué seulement la construction géométrique qui en est Ja base et par laquelle on peut obtenir le valeur très approchée de ‘la circonférerice de

€ Joh. Bernoulli Opera. Tom. r;:pag. 447-

FE

toute courbe ovale. partagée, comme l’ellipse, en quatre parties égales et semblables par deux axes rectangulaires. Cette construction s'exécute. au moyen d’un mouvement continu que l’auteur appelle motus a et dont il détaille les propriétés...

Nous avions pensé d'abord à donner ici l'analyse du théorème de Jon Bernoulli, considéré dans sa plus grande généralité ; mais nous avons bien tôt reconnu que cette analyse deviendrait inutile, parce que le résultat auquel elle conduit n’est qu'un cas ‘particulier d’une proposition générale qui sera démontrée ci-après d’une manière beaucoup plus simple. :

$ II. Moyen d'exprimer toute intégrale proposée par un arc de courbe.

75. Soit s la longueur de l’arc de courbe AM dont Porigine est fixée au point À et dont l’extrémité M est déterminée par les coordonnées CP=7r, PM=7Y. Cet arc, dont l’expression ordinaire est f'dxy/ ( 1 + 2) peut être exprimé par une autre formule qui jouit de quélques avantages particuliers et que nous allons faire connaitre.

Si du point C, centre des œordonnées; on mène CZ pérpendiculaire: sur la tangente au point M, et qu’on prenne pour nouvelles: variables CZ = p et l’angle TMP=y, on aura l'angle PCZ=p et CZ=pCM cos (u—MCP); développant le second membre et mettant au. heu de CM cos MCP et CM sin MCP leurs valeurs x et >, on. aura

P=x C08 + y sin.

Différenciant cette équation et observant qu’on a rule ds & sin m et dy = ds cos, il viendra ‘fe

RES re P = y cos y — x sin PAT du a Au moyendle ces équations , on obtient les valeurs de æety exprimées ( en fonctions de p et dep, savoir :

Tæp cos pe — Ÿ sin y, ii)

+ Here tes . | :

Enfin, de celles-ci on tiredx =—dusin Hp+ me) Frs scou(p- De); donc ds =—dp (+52 , et en intégrant

$ = fpdu + 2 + const. e (12)

C'es t l’expression de l’arc s dans laquelle il faudra substituer la valeur de p en fonction de y.

6. Cette valeur peut se déduire de l'équation donnée entre les cobrdosnées æ et y, combinée avec l'équation différentielle Ÿ 3. == cot # , dont le

premier membre est une fonction connue de æ et y. En effet, on peut supposer que ces équations donnent les valeurs de x et y exprimées en fonction de tang 4 ; ensuite l'équation p=2x cos u+- y sin 4 fera connaître la valeur de p en fonction de sin x et cos pe.

| On peut remarquer que si l'équation entre x et est algébrique, l’équation entre p, sin y et cos w, sera pareillement ulgébrique ; mais en général, quelle que soit cette équation, si on prend l'intégrale .fpdx de manière qu’elle s’évanouisse au point A, et que - n soit Ja valeur de, Pen ce même

dpo ? :

point, on aura l’arc AM ou s —/fpdu +8 DE |

77. Cette même formule servira à exprimer toute intégrale proposée par un arc de courbe.

En eflet, on peut supposer que cetle intégrale est mise sous la forme fpdx, dans laquelle 4 représente un arc de cercle indéfini dont le rayon = 1, et p une fonction de l'arc , ou seulement des lignes trigonométriques sio # et cost. On aura donc l'intégrale cherchée

dp , d fpdp=s—T + | (13)

Quant à la courbe AMB qui correspond à cette équation, elle est facile à décrire au moyen des équations (11) dont les seconds membres sont dés fonctions connues de l’angle w ou des lignes trigonométriques qui dépendent de cet angle; et si on élimine w de ces deux équations, on aura, sous la forme ordinaire, l'équation entre les coordonnées x ety de la courbe dont un arc compris entre des limites données servira à exprimer l’intégrale fpdz. 11 faut maintenant montrer dans quelques ue l'usage de cette théorie.

78. Exemple I. Soit proposée l'intégrale Z = fdu y ( 1— ct sin* pe); que nous avons coutume d'exprimer par l'arc ie 05 E(c, &) compté de l'extrémité du petit axe.

Nous aurons dans ce cas,p= ÿ/(1—c* sin* m), valeur qui étant at stituée dans les équations (11), donne en fuisant b= y{(1— 0),