CHAPITRE Y

Enfin, dès qu'une fois on aura déduit des données c, @, les nouveaux élémens c°, g° ou c’, g', il n’en coûtera guère davantage pour eentinuer les suites c, c', c", etc., et @, @', @", elc., jusqu’au troisième terme en viron, comme cela est nécessaire pour obtenir directement une valeur aussi approchée qu’on voudra de la fonction F (e, @), en la déduisant des formules,

F(e, ®)= K. log tang (45° + + ®'), K se VS):

où ®’ désigne la limite des angles ® , @’, ®", etc. ; et dans ce cas, on n’aura aucun besoin de la Table des fonctions E.

729. Il résulte de cette discussion que, se. la fonction F puisse s'exprimer rigoureusement par deux des fonctions E; cependant cette propriélé ne fournit pas des moyens de calcul assez simples pour être employée utilement dans les approximations. Il en est de même de Pusage

qu'on voudrait faire de la formule F=E— ce E ,youF = E— tang0 æ , en faisant c = sin 8.

Car, pour faire l'application de cette formule , il faudrait d’abord être en possession d’une Table complète des fonctions E ,: calculée pour. tautes les valeurs de 8 et de @, de demi-degré en ut de plus en appelant & la longueur d’un demi-degré, ou faisant & — %” le coefficient différentiel Ÿ devrait être tiré de la formule

æ D dE— dE + dE — 3 ME + etc.

où les différences successives d'E, dE, dE, etc., sont relalives à la variable 8 seule. Mais on voit qu'à cause de la petitesse de æ, la valeur de

dE , 12 =! .2 » sn s

g ne serait déterminée en général qu'avec deux décimales de moins que la fonction E, et la précision diminuerait encore a mesure que tang 8 augmenterait ; ainsi ce moyen d’approximation que nous avions proposé autrefois , ne saurait être adopté.

730. Ayant écarté plusieurs des moyens qui se présentent naturellement pour construire des Tables propres à faire trouver aisément , dans tous les cas, les valeurs des fonctions elliptiques E et F, l’idée peut venir encore de remplacer une de ces fonctions par une autre qui serait plus facile à

réduire en Tables. Telle est, par exemple, la fonction G = [Le ,

dont la valeur complète , lorsque @ — + #, sera + 7 ou 1, selon qu’on fait c = 0 ou c — 1; de sorte que dans les cas intermédiaires eette fonction éprouvera peu de variations, et sera très propre à être réduite eu Tables.

Et puisque la fonction F peut être déduite des fonctions E et G, au moyen “de l'équation

LL ÈRS HA EREr ne ——— +6G,

il semble au premier coup d'œil que la fonction G pourrait être substituée avec avantage à la fonction F, au moins dans la parlie des Tables de celle-ci qui se prête difficilement aux interpolations, c’est-à-dire lorsque les angles 8 et @ sont tous deux plus grands que 70 ou 55°.

- Mais, en examinant la chose avec plus d’atteution, on reconnaît que la difficulté n’est qu’éludée, et qu’on n’obtiendra pas une plus grande ap-

. , « Li proximation par ce moyen, parce que si on a, par exemple, = —,

l'erreur de E — G se trouvera centuplée dans la valeur de F. Il vaudrait donc tout autant, à mesure que 8 et @ augmentent au-delà d’une certaine limite, diminuer le nombre des décimales qui entrent dans l’expression de F, afin que l’interpolation fût toujours également praticable, mais donnât pour résultat un moindre nombre de chiffres dérimaux.

731. Pour donner un exemple de l'usage de nos méthodes, lorsque l'angle du module est peu éloigné de 90°, nous joignons ici une Table des fonctions E et F, construite d’après ces méthodes pour le module c = sin 89°. Cette Table, calculée par la même méthode que la Table I, n’est pas pourvue d’un aussi grand degré de précision, et on ne peut guère compter sur l'exactitude de la dixième décimale ; mais elle pourra être utile, surtout en fournissant des exemples qui serviront à apprécier diverses formules que nous donnerons ci-après pour les cas où le module est très peu différent de l’unité.