CHAPITRE V
tirés les uns et les autres de la Trigon. Britan. de Briccs, publiée après
la mort de cet auteur, par GELriBraND, seul ouvrage où l’on trouve un
aussi grand nombre de décimales ; car le Thesaurus Mathematicus de Piniscus, ne donne les sinus naturels qu'avec quatorze décimales. Nous avons cru que celte Table serait utile, ne füt-ce que pour mettre le lecteur à portée de vérifier par lui-même, et sans le secours d’un livre qui devient chaque jour plus rare, les calculs que nous avons développés dans diflérens endroïls de cet ouvrage, et surtout ceux qui se rapportent à la Table des fonctions complètes.
La Table IV donne les logarithmes hyperboliques de taug ( 45°+21%), pour toutes les valeurs de @, de demi-degré en demi-degré; ces logarithmes sont en même temps les valeurs de la fonction F@, lorsque le module est égal à l'unité, ou lorsque langle du module est de go°.
Connaissant, par la Table HF, les logarithmes vulgaires de tang.. (45° ++ @) ,ila sufli de multiplier ceux-ci par le module M = 2.3025, etc, pour avoir les logarithines contenus dans la Table LY.
Enfin nous avons cru faire plaisir aux calculateurs en ajoutant à ce petit recueil, la Table V extraite des grandes Tables du cadustre, où l'on trouvera les logarithmes à dix-neuf décimales pour tous les nombres impairs de 1163 à 1501, et pour tous les noinbres premiers de 1500 à 10000.
726. La Table IV, dans laquelle nous avons inséré les différences successives de la fonction , autant que le format a pu le permettre, fait voir que ces différences décroissent d’une manière très lente, lorsque l’amplitude ® approche de gu°. Alors l’interpolation de la Table devient très difficile, ou ne donne qu’une approximation insuflisante ; mais il est inutile de s'occuper de cette interpolation dans le cas de la Table [V, parce qu'on a d’ailleurs assez de moyens de déterminer avec loute la précision
nécessaire le log. hyperbolique de tang (45° 2@), quelque soit @.
L'interpolation présentera de semblables difficultés, mais à un moindre degré, dans les Tables particulières dressées pour des modules dont les angles diffèrent peu de l'angle droit ; il y aura alors une partie plus ou moins étendue de chaque Table, celle qui répond aux plus grandes valeurs de ®, dans laquelle les interpolations exigeront un caloul plus long ; mais cet inconvémient ne se fera guëre sentir qu’à compter de l'angle du module 8 = u°, et seulement pour des valeurs de @ non moindres que 70 ou 75°. On remarquera au reste que les simples Tables de logaritlunes des nombres et des sinus, sont sujettes à un pareil inconvénient , vers leur
Et
coïnméntement , ét que celles des logarithmes des tangentes le sont au commencement et à la fin, lorsque l’angle approche de 90°.
11 serait superflu de parler ici de la double interpolation que lon aurait à faire selon les diverses valeurs des angles 8 et ®, lorsque le système de Tablés dont nous avons parlé sera exéculé, ou, ce qui revient au même, lorsq'on aura une Table à double entrée contenant les valeurs des fonctions E et F, pour toutes les valeurs des angles 8 el @, de demi-degré en demi-degré. Mais il ÿ a d’autres questions qui concernent la construction de la Table elle-même, et qui méritent d’être discutées.
727. On peut d’abord observer que l’interpolation est en général plus facile à l'égard des fonctions E qu’à l'égard des fonctions F; et si on se rappelle que toute fonction F peut s'exprimer exactement par la fonction E et une autre fonction de même nature, on en conclüra qu'à la rigueur on pourrait se contenter de construire la Table des fonctions E, laquelle présentera toujours plus de facilités .et moins de cas d'exception , dans les calculs d’interpolation. Cette observation réduirait presqu’à moitié le caleul des Tables elliptiques, et ce calcul deviendrait surtout d’une exécution assez facile, si on ne voulait avoir les fonctions E qu'avec sept décimales exactes.
Mais, d’un autre côté, les fonctions F étant plus simples analytiquement que les fonctions E, il y a quelque inconvénient à déduire la fonction la plus simple F ou F (c, g) de deux fonctions plus composées E(c, 9), E(c, g°). Cet inconvénient n’est pas simplement idéal , il se fait sentir encore par la complication qu’il entraine dans les calculs, puisque la détermination de la fonction E (c°, 9°} suppose qu’on a calculé de nouveaux élémens c, g°, qu’on peut bien déduire trigonométriquement des élémens donnés c, @, mais qui rendent le calcul plus long et plus difficultueux,
728. Il faut observer de plus que quand on détermine la fonction F, soit au moyen des deux fonctions L (ec, @), E (c°, g°), soit au moyen des deux fonctions E(c, @), E(c’, g'), ce qui se fait par l’une ou l’autre des formules
BF(c,p)—3(1+6)E(c,@)—E(c,p)}+23(1—06) sin @, sbF(c,p)=E(c, p)—(i+e) E(c,g)+e sing; les erreurs sur les fonctions E se trouvent notablement augmentées dans lexpression de F, à cause de la petitesse du diviseur # dans une formule, ou + 6* dans Pautre ; de sorte qu’on ne pourra se flatter d'obtenir la fonction F avec la même précision que les Tables donnent les fonctions E.
