CHAPITRE VL

qui répond à toute fonction F8, ®), exprimée par 308 P° (8) n élant un nombre entier.

Cela posé, soient donnés la Sn oe F et l’angle # du module auquel elle appartient ; il faudra préalablement, d’après cet angle, calculer la function complète F' (x) ; alors connaissant F, on connaîtra le roches n+ x (com-

posé de l’entier » et de la fraction æ), tel qu’on ait F — IE F°

Soit maintenant w—=6 + y, 6 étant un nombre entier de demi-degrés, et y étant << 1. Dans la Table où 8— 6, on prendra par interpolation l’amplitude ® qui répond à n+x;on prendra de même, par interpolation, les amplitudes 9’, ®", ®"”,etc., qui répondent à n + x, dans les Tables qui ont pour angle du module 6-1, 6+2,6-+3,etc.; cela posé, l'amplitude qui répond à la fonction donnée F dont l’angle d module est x, sera exprimée par la valeur

HT EP) (pl 29 HR) HI (9° 38" 3@—P) etc.

L’ opération inverse se ferait d’une manière semblable, mais il est superflu de s’en occuper ici.

737. 11 faut faire voir maintenant comment on pourra former une Table analogue pour les fanctions E : cette Table est d’une exécution moins facile; cependant il se présente encore, pour la construire, des formules assez élégantes et qui méritent d’être remarquées.

Soient, comme ci-dessus, @°, ®, @’ trois amplitudes successives Lelles qu'on ait F(g°)+F(æ)=F(?), F(®)+F(a) = F (9), on aura, suivant l’art. 34, les deux équations

E(@")+E(a)—E(p) = c* sin æ sin gsin®, E(p)+E(æ)—E(g) —=csin æsing sin; d’où l’on tire |

E(g)—2E(p)+E (g")= — c sin æ sin @ (sin g'—siu g°),

ou, ce qui revient au même,

d'E(p)= — c° sin æ sin @ (sin @'— sin @°).

Mais on a sin @'— sin @°=— 2sin ? e er “2 ; d’a À FPE, on - e° __ % Le

= do—1}d', et t+e o+e og: pe donc d'E(g")=— 20 NS NOT PEN TES

86 CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES, ou en faisant comme ci-dessus + d"®° = — w, d'E(@")=— 20 sin « cos(®—«) sin (d'® + «) sin @. J’observe maintenant qu'on à 2sin@ cos(®—&)= sin (29 — & ) + sin w; mais sinw— Âsin(2®—«); donc 2siu@® cos(g—«)=(1-##A)sin (29 — «) ; donc d'E (g°)= — ce" (1+# k) sin æ sin (20 —w) sin (d@+æ), ou enfin d'E (@°) = -- 20 /k,sin (29 — w) sin (JP + w). Cette formule est rigoureuse, et elle est réduite à un état de simplicité qui la rend très propre au calcul logarithmique.

738. Ainsien même tems qu’on calculera pour la Table des fonctions F, la quantité w qui donne d"°, et ensuite d'?, par la valeur dg=dp° +de, on aura tous les élémens nécessaires pour caléuler d''E@' : on formera donc par cette seule formule, la colonne entière des différences secondes de la fonction E. " .

On voit que la différence seconde d"Eg® s’évanouit aux deux limites de . la Table, lorsque p=—0, et lorsque ® = 90°; son maximum répond à une amplitude toujours plus petite que 45°.

D'un autre côté, la fonction Ex est facile à déduire des mêmes élémens qui servent à déterminer & de manière qu’on ait Fe = +4 F', et cette fonction Eæ est en même temps la valeur de JEo, puisque Eo — 0, et qu’ainsi la différence Eæ — Eo ou J'Eo= Ex. Puis done qu’on connaît le premier terme de la colonne des différences premières, et tous les termes de la colonne des différences secondes, on pourra immédiatement former la colonne entière des différences premières, et ensuite celle des fonctions E?, dont le dernier terme devra être égal à la fonction complète E'.

739. La méthode que nous venons d’expliquer pour former la Table des fonctions E est d’une simplicité qui ne laisse rien à désirer. Et quand on considère aussi combien est facile la construction de Ja Table des fonctions F, puisqu'elle ne dépend que d’une seule formule trigonométrique rigoureusement exacle, on serail tenté de croire que cette manière de former des Tables des fonctions F et E, doit être adoptée de préférence à celle que nous avons exposée dans les chapitres précédens. Peut-être que l’exécution dévoilerait encore de nouveaux motifs de préférence; C’est ce que nous laissons à décider à ceux qui voudront entreprendre le long et utile travail de la construction de ces Tables,

Nous devons encore observer qu’il sera facile de vérifier aussi souvent