CHAPITRE IX

Réduction de la formule qui exprime la fonction E+, dans la méthode des modules croissans.

760. La valeur de Ee que nous avons donnée dans l’exemple précédent, d’après les formules de l’article 89, n’étant pas assez simple pour être employée dans les calculs courans de la seconde des fonctions elliptiques, nous avons cherché une autre formule par laquelle ces calculs fussent réduits au plus grand degré de simplicité dont ils sont susceptibles, et nous y sommes parvenus de la manière suivante :

Après avoir formé la série des modules croissans c, c', c”... et celle de leurs complémens 6, 8’, b"... il faut calculer la suite des amplitudes décroissantes ®, g', g"... jusqu’à une limite qui est détermine , ainsi que celle des modules, par le degré d’exactitude qu’on veut obtenir. Ces amplitudes se calculent directement par les formules sin (2® — g)=csin®, sin(2@"—9'}=0c'sing", etc.; mais, quand on est parvenu à celle où le module correspondant c est trop peu différent de unité, il convient de remplacer cette formule par l’équation correspondante de la suite tang(@—@"}=b"taug @",

104 CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPT IQUES,

tang (@— g") = b" tang @”, etc., d’où lon tirera un résultat beaucoup plus exact.

Connaissant ainsi la limite ® de la suite @,®", @", elc., que nous supposerons, par exemple, se confondre sensiblement avec le quatrième terme g”, on aura la valeur de F@ par l'équation F@ = K log tang (45°+ à ®), dans laquelle le logarithme est hyperbolique; prenant done dans les tables le logarithme vulgaire / taug (45° ++ ®)=H, on aura Fp—KMH ; quant à

la valeur de K, elle est, comme on sait, K= y (£ ‘ c'é'c"), 761. Cela posé, la valeur de Eg pourra être ainsi réprésentée Ep=L'Fo + Pe sin ®,

etil s’agit de calculer les deux termes dont elle est composée.

Le premier se trouve facilement par la valeur déjà connue de la fonction F@ et par le coefficient L’ que nous avons déjà réduit à la forme la plus simple dans le calcul des fonctions complètes (art. 652); tout se réduit donc à chercher la valeur du second terme Pe sin @. C'est ce que nous obtieudrons par la première forme de la valeur de 4 (x) donnée dans l’art. 89; ainsi nous aurons à réduire la formule

; 2#c# sin g“ : re nr a —1 sing“!

P sin g = nt Noise vas FT ve ire ES

Pour ceteffet, soit ®—@'=04", g —@'=04", @"— g"=4!",etc., on aura les équations tang &=" tang @', tang "=" tang g", etc. ; la première donne

# . “ = “ c « sin g= sin (9 +ow')—= (1 +8) sin g’ cos w'— 7x sin @' cos a’, et on en déduit successivement ‘ e sin * € sing’ c c’ sin sing —V:,"e sing"= ° R=—+ APE A + a, c cos € cos & c c COS #’ COS 4 sing"= Ve Ve Ve sin ® FT ce * € * cos cos #° cos #* ? ‘

Substituant ces valeurs dans celle de P sin @, et faisant, pour abréger, c'cos w'—=g, c" cos æ" —7r", etc., on aura

oh 2 4 21

=] -— 7... — —., 4 Fr oue T

APP 0 0788 rr Cette formule peut donner tel degré d’approximation qu’on voudra , mais il convient d’examiner successivement les différens cas qui peuvent se rencontrer dans les applications.