CHAPITRE

Ainsi on connaîtra les logarithmes de à et de c°; ensuite on aura celui de & par la formule b — AC)

Si l’on fait / cos 8 = cos &æ — R, L tang + 0= l'tangiaæ 458, le calcul des corrections R et S deviendra fort simple par le moyen suivant. Soit r = r'tang* æ, on aura

logR = logr'+r/+r, log S = log +37;

Au reste il n'est point à craindre que les erreurs se multiplient dans ces calculs, puisqu'on suppose toujours 8 ou &æ < 45°. f

Formules pour le calcul des quatre fonctions F'e, E’e, F'b, E'8.

650. Nous partons toujours de l'hypothèse que l’on veut avoir les lo- - garithmes de ces quatre fonctions, approchés jusqu’à la quatorzième décimale ; d’ailleurs on peut toujours supposer € << sin 45°. Cela posé, nous commencerons par le cas qui exige les plus longs calculs, celui où le module c est compris entre sin 45° et sin 26° 34’; alors l'échelle des modules doit être prolongée jusqu'aux termes 4°, c°°%, inclusivement. Les autres cas seront susceptibles de diverses simplifications à mesure que le module c deviendra plus petit.

Les valeurs de F'e, E'e se trouvent d’abord immédiatement par les for-

mules

Fomt.K, Kei/(p.buér),

L'eæmlf'e, L = À (ir ee — 2 ccc0),

Pour simplifier le calcul du coellicient L, j'observe que les deux termes

2 cc (1 HE cc) peuvent se réduire à un seul; car on a d’une manière

suffisamment exacte, r +1 c°* = y/(1 + c°°) =\/ A); d’un autre

Don nôüû té Les = Dee Donc

La b É s Loco L= (1 — + CC L )

ne Ainsi faisant r = : een LE, on aura V Li

8 CONSTRUCTION DES TABLES ELLIPTIQUES, E'c = ps Fe (1 — r).

Lorsque c est donné sous la forme sin 8, et que l'angle 8 ainsi que +6, se trouve immédiatement dans les Tables, on a plus simplement

& = cost + 4.

Tout se réduit donc à trouver log (1 — r), ce que l’on fera par la formule log (i—r)=— mr — + ms — + mr, dont il suflira de calculer trois termes au plus. |

Le premier terme z7r de cette valeur peut être calculé avec une précision suflisante par des Tables à dix décimales ; car il ne peut avoir au plus que dix chiffres significatifs : et quand même il ÿ aurait une erreur d’une ou de deux unités sur le dixième chiffre significatif, qui sera au rang de la quatorzième décimale, cette erreur sera confondue avec celles dont les autres logarithmes sont susceptibles ; car en poussant l’approximation jusqu’à la quatorzième décimale, on ne peut prétendre que la quatorzième décimale sera toujours exacte.

651. Venons maintenant au calcul des fonctions complémentaires F'#, E'6. Les formules des art. 52 et 92 donnent, après avoir échangé entre elles les lettres & et c, et en Ki =,

F8 = £ log À. 2) =/ (= #9

E'6 =L'F'é + D On voit d’abord qu'on a exactement K°=K., et qu’ainsi K’est déja connu; ensuite pour changer les nr compris dans ces formules en logarithmes vulgaires, soit h= = log ss: ; ce logarithme tiré immédiatement

de la série des modules, sera un logarithme vulgaire, et on en conclura F'è = KMh.

Pour calculer E'6, il faut connaître le coeflicient L’; or les formules des art. cités, donnent, après les permutations convenables,

L'= cy ce — cy/(bee”) — € V5) — elc.

Cette suite est fort convergente, mais on peut lui donner une forme plus commode ; en effet, on a les équations

| CHAPITRE I. 9 V’(éc®) = + bc, d’où résultent (bec) = 1bcy/e,

Ve") = + bee, Vs (RE) = + cc vor,

(be) = 3 puce, vw eme = jee or, etc. etc.

donc

— cy'e — Leby/e — E cobe/ ce — à cc be y/ coee — etc. Pour rendre cette expression tout à fait rationnelle, on substituera les valeurs ÿ/e° = =. (1e), Ve = “A = (1+e®), etc.; et en observant qu’on a FE TS : = , etc., il viendra enfin

L'=2( 1e) Etc (rm ©) — à CCC (1 = C9) = ELEC. ,

ou L'= } 0H Etc Je à o0°c 4 C'C0"00 pe ELC.

Comparant cette expression avec celle du coefficient L (art. go) qui sert à déterminer E'c, on trouve exactement L’ = 1 — Ce résultat aurait pu se déduire directement de notre théorème sur les fonctions complémentaires , savoir ,

= F'cE'b+ F'bE'c F'eF'é; car en substituant dans cette équation les valeurs Fe =°K, E'c= LF'e, E'è= L'F'é + K , on trouve immédiatement L'=:i—L;

ainsi on a une nouvelle vérification du théorème dont il s’agit.

652. Il suffit, pour l’approximation que nous voulons obtenir , de prendre

L'=tc(rhte Hi ce + x oc%c);

mais ces quatre termes seraient peu commodes pour le calcul logarithmique, et on va voir qu'ils peuvent être réduits à deux.

En effet soit y = 1<+ 3e cet 3 cc, j’observe d’abord qu’on a item ve, ; doncr1+ic(ie)= 1h pe, et

J=rbVetmr cc" (irc).

La seconde partie de cette valeur se réduit à un seul terme, parce qu'on a avec une exactitude suflisante, |

Iso = W(1— oc) — vb); Ti Ver — 3 der V(eybe)

il en résulte

Mais on a o\s — ce e — 2Vc* —2Ve 2Ve, Cry) = 1 Le Favre Gi +e)= RS. 2

4° bee ë f .

75 VE: donc si on fait. .., be 3

1+yc°=$%, on aura GE ET Cu eg = K'( 2° . Cela,

et cette valeur se réduit ultérieurement à

b bee posé, la valeur de y devient

= gr see MEN

et le second terme se réduit à +. CE (8®°)*; donc enfin on aura LA e Î 1 h0100 3 = Le K?° js) (1 — y y

Par ces transformations non-seulement la valeur de L' est réduite à deux termes; mais le second de ces termes reste toujours très petit par rapport au premier ; j'observe d’ailleurs que le facteur (om )E, très peu différent de l'unité, peut être omis sans qu'il en résulte une erreur d’une unité décimale du quatorzième ordre sur le log. de L', et encore moins sur celui de L'£,