CENTRE DE GRAVITÉ
du rentre de gravité a la verticale. L’équilibre est stable, lorsque cette action tend a ramener le corps ilnns sa position d'équilibre ; il est instable, lorsqu'elle tend, au contraire, a écarter le centre de gravité de la verticale.
S’il y a deux ou un plus grand nombre de points d’appui, il faut , pour que la position du corps soit stable, que la verticale, passant par son neutre de gravite, tombe entre les points d’appui. Si elle tombait en dehors, le corps ne pourrait pas rester en place, et il se retournerait lui-même pour atteindre la position d’équilibre. Lorsque le centre de gravité d'un corps est très élevé, par rapport au plan sur lequel il est placé, il suffit, pour que la verticale tombe en dehors des points d'appui, d'une déviation beaucoup moins considérable que dans le cas où le centre de gravité est très bas. C'est en raison de cette circonstance que les voitures, montées sur de grandes roues, ou chargées par le haut, sont beaucoup plus exposées a verser que celles qui sont montées sur de petites roues, ou bien qui ont leur ci ntre de gravité très bas, par suite du mode de chargement.
La distance du centre de gravité d'un corps a un plan quelconque étant toujours la même, quelle que soit la direction que l'on suppose aux forces parallèles de la pesanteur, on trouvera aisément cette distance, en admettant que ces forces dev iennent parallèles au plan. Daus ce cas, In distance que l'on cherche est évidemment égale à la moyenne des distances de tous les points d’apjdicatkm des forces de la pesanteur au plan. Ceci est vrai, non seulement pour les forces de la pesanteur, mais pour un système quelconque de forces parallèles. Nous v oyons donc que le centre de gravité, comme le centre des forces parallèles, se confond avec le centre des moyennes distances.
Le centre de gravité commun à deux corps divise la ligne qui joint les centres de gravité respectifs de ces deux corps en deux parties , qui sont entre elles en raison inverse des poids de ces deux corps. Si on place un poids sur un point quelconque d’un levier inflexible, supporté à ses deux houts, la pression sur chaque point d'appui sera en raison inverse des distances du point ou le poids est appliqué. Dans un système composé de trois corps, si on tire une ligne du centre de gravité de l'un d'eux au centre de gravité commun des deux autres, le centre de gTavité unique des trois corps partagera cette ligne en deux parties qui seront entre elles, réciproquement, comme le poids du corps, du centre de gravité duquel la ligne a été tirée, est à la somme des poids des deux autres corps. Par conséquent, le moment du premier corps, ou sa masse multipliée par sa distance au centre de gravité commun , est égal a la somme des deux autres moments, c’est-à-dire à la somme des masses des deux autres corps multipliées respectivement par la distance de leur centre de gravité commun au centre de gravité du système.
Si l’on prend un poiut sur une droite, ou sur un levier inflexible, joignant les centres de gravité de deux corps, la somme des moments de chaque corps, par rapport à ce point, est égale au moment que l'on obtient en multipliant la somme des deux corps par la distance de leur centre de gravité commun au même point. Les deux corps ont donc, pour faire tourner le levier autour du point que l’on considère, la même énergie que s’ils étaient tous deux réunis en leur centre de gravité commun. C'est une conséquence de ce que le centre de gravité se confond avec le centre des moyennes distances des forces parallèles de la pesanteur. Si l’on considère un nombre quelconque de corps, formant un système unique, il résulte encore de la coincidence que nous venons de rappeler, que la distance à un plan quelconque du centre de gravité commun de tous ces corps est égale ù la somme de tous les moments des corps , par rapport à ce plan, divisée par la somme de toutes les masses. Nous allons donner la position du centre de gravité dans plusieurs figures d'un usage fréquent.
Le centre de gravité d’une ligne droite, ou d’une barre ou tige droite, de figure et de densité uniformes, est au milieu de la longueur. — Le centre de gravité d'un triangle est situé sur la droite qui joint un des angles au milieu du côté opposé, aux deux tiers de cette ligne à partir de l'angle, ou au tiers à partir de la base. — Dans un trapèze, le centre de gravité est à l'intersection des droites qui Joignent les centres de gravité des triangles opposés, déterminés par les deux diagonales. — Le centre de gravité d’un parallèlo-
fin
PRINCIPES DE MÉCANIQUE
gramme est à l'intersection des diaiTonnlcs, on à l'intersection des deux lignes qui partagent les côtés en deux parties égales. — Dans un polygone régulier, le centre de gravité se confond avec le centre du cercle Inscrit ou circonscrit. — Le centre de gravité d’un are circulaire se trouve sur le rayon qui passe par le milieu de cet arc, et à une distance du centre qui est donnée par une quatrième proportionnelle à l’arc, an rayon et à la corde. — Le centre de gravité d’une demi-circonférence est h une distance du centre mesurée par une troisième proportionnelle nu quart de la circonférence et au rayon. — Dans un secteur circulaire , le centre de gravité est à une distance du centre égale à une quatrième proportionnelle à trois fois l’arc du secteur, à la corde de Tare et au diamètre du cercle. — Dans un segment circulaire , le centre de gravité est distant du centre du cercle d’une quantité égale au cube de la corde divisé par douze fois la surface du segment. — Dans un demi-cercle , le centre de gravité est distant du centre d’une quantité égaleà quatre fois le rayon divisé par le nombre constant 3, 1416 x 3 = 9,4248. — Dans une parabole , le centre de gravité est sur l’axe, à une distance du sommet égale aux trois cinquièmes de cet axe. — Dans une demi-parabole , le centre de gravité est à l’intersection de deux coordonnées, dont l'une est parallèle a la base et à une distance égale aux trois cinquièmes de l’axe, et l’autre, parallèle à l’axe et à une distance égale aux trais huitièmes de la demM>asc.
Les centres de gravité de la surface d’un cylindre , d’un cône et d’un tronc de cône, sont places respectivement comme les eentres de gravite du parallélogramme , du triangle et du trapèze, que l’on obtient en faisant des sections par Taxe de ces différents corps. — Le centre de gravite de la surface d’un segment sphérique est au milieu du sinus-verse ou de la hauteur. — Le centre de gravité de la surface convexe d’une zone sphérique est au milieu de la portion de l’axe de la sphère interceptée entre ses deux bases. — Dans les prismes et les cylindres , le centre de gravité est au milieu de la droite qui joint les centres de gravité de leurs faces opposées. — Dans les pyramides et les cônes , le centre de gravité est situé sur la ligne qui joint le sommet nu centre de gravité des bases , aux trois quarts de cette droite à partir du sommet , ou au quart à partir de la base. — Dans un hémisphère ou un hémisphérolde , le centre de gravité est distant du centre des trois huitièmes du rayon. — Dans nn conotde parabolique , le centre de gravité est à une distance de la base égale au tiers de l'axe , ou bien à une distance du sommet égale aux deux tiers de l’axe. — Il existe plusieurs autres corps et figures dont on connaît la position du centre de gravité. Mais . outre que la position du centre de gravité , pour les corps que nous n'avons point nommés, est sans intérêt dans les applications pratiques dont nous pouvons nous occuper, on ne saurait la designer sans avoir recours aux formules compliquées de la haute analyse.
