GLISSIÈRES DE RÉVOLUTION

362. Treuil. — Quelles que soient les forces qui sollicitent le treuil, on peut les décomposer parallèlement et perpendiculairement à Taxe. Les premières composantes, étant parallèles entre elles, se réduiront à une seule que nous supposerons pour plus de simplicité dirigée suivant l'axe luimême, condition réalisée ordinairement en raison de la symétrie. Chacune des composantes perpendiculaires pourra elle-même être dédoublée, par la règle des forces parallèles, en deux autres situées dans les plans transversaux des deux points d'appui du treuil sur ses coussinets. L'équilibre devra alors exister séparément dans chacun de ces plans; car, s'il n'en était pas ainsi, chacun des systèmes aurait une résultante unique, et ces deux forces, qui ne sauraient se rencontrer comme étant situées dans deux plans parallèles, ne pourraient se faire équilibre.

Notre recherche se divise donc en deux autres : perte de travail due au frottement d'un tourillon sur son coussinet sous l'influence d'une force perpendiculaire à l'axe, et perte de travail due au frottement du pivot contre le fond de la crapaudine, sous l'influence d'une force dirigée suivant l'axe. Tels sont les deux problèmes distincts qu'il nous faut traiter successivement.

3Ck> ÉTUDE DYNAMIQUE DBS MÉCANISMES.

. 363. Le tourillon n étant sollicité que par une seule résultante transversale que j'appellerai P (PL I^, Jtg- 55 ), l'équilibre exigera que la réaction totale R du coussinet soit égale et opposée,

Maïs R fait l'angle 9 avec la normale ou le rayon du tourillon (355); il en est donc de môme de P. Ainsi le tourillon, qui, si l'on tient compte du jeu, ne s'appuie que par un point ou mieux par une arôte, ne touche pas le coussinet sur celle où la direction de la force P semblerait devoir l'appuyer si on l'appliquait par le centre, mais par une génératrice qui en est distante de l'angle f. Si, par exemple, le tourillon est une fusée prise dans son moyeu et simplement pesante, elle ne porte pas sur le point le plus bas. mais elle grimpe pendant le mouvement jusqu'à l'élément incliné sous l'angle 9, où elle se maintient en équilibre.

Quant au frottement, il nous est donné par sa valeur générale (255),

Fr- — /— R=r T / — P.

Son travail pour un tour sera donc, si r désigue le rayon du tourillon,

F.2yr=r L__» Pr.

364. Quant au tourillon proprement dit, la conséquence à tirer de cette formule est que le diamètre doit être réduit au strict nécessaire. Et en effet les tonrillons ont toujours un diamètre beaucoup moindre que celui des arbres dont ils font partie. On a soin en revanche de les composer d'une matière plus résistante, telle que l'acier (451 ).

La même formule peut s'appliquer à l'articulation de bielle embrassant un bouton de manivelle (40), et encore

à rexccntri(|ue circulaire à collier (41). Nous avons vu en effet que la somme des perles de travail (356) ne dépend que do mouvement relatif, identique, dans le cas actuel, à celui d'un tourillon dans sou coussinet; r représente alors le rayon du boulon de manivelle ou celui du noyau d'excentrique.

Au point de vue géométrique, l'organe est aussi le même (161 ), car l'excentrique circulaire à collier est équivalent au système d'une bielle et d une manivelle dont le bras serait l'excentricité, moindre par conséquent que r. Pour une course de la bielle ou un bras de la manivelle donnés, r a donc pour limite zéro avec l'articulation, et le bras pour l'excentrique. On doit par suite le considérer^ comme petit pour l'articulation et comme excessif pour l'excentrique. 11 faui donc, au moins dans ce dernier cas, que le facteur P soit faible, sans quoi l'influence du frottement deviendrait énorme.

Concluons de là qu'on doit employer l'articulation pour les transmissions énergiques et l'excentrique pour celles qui sont moins intenses. Dans les locomotives, par exemple, on peut apercevoir sur le même arbre des coudes munis d'articulations pour transmettre l'action motrice, et des excentriques pour produire le jeu des tiroirs avec une force qui est relativement insignifiante.

365. Occupons-nous maintenant du frottement d'un pivot sur le fond de sa crapaudine, ou dune cheville ouvrière sur son siège (38).

Si Q nous désigne la force unique qui est dirigée suivant l'axe, on peut admettre que la pression se répartit uniformément sur touie la surface, car l'usure altérera davantage les points les plus pressés jusqu'à ce qu'ils se refusent

à celte pression. Si S désigne la surface d'appui, ~ sera doue

la pression par unité de surface; - 2 Jt/v/r, l'effort supporté par une couronne infinitésimale de rayon intérieur r et d'épaisseur ^j/g zitrdr, le frottement correspondant, et

27rr./^ arc/v/rson travail pour un tour. Le travail total sera ainsi exprimé par l'intégrale

On aura pour le pivot

R'=o, S = 7rR».

et l'expression deviendra

Sous cette forme on reconnaît que la perte de travail est la même que si l'effort total était appliqué aux deux tiers du rayon d'appui. De là un grand intérêt à diminuer ce rayon et à employer la forme convexe dite en goutte de suif qui le réduit aux plus faibles dimensions. L'avantage qu'il y a à restrci ndre le contact aux parties centrales est si bien connu, que l'on est ordinairement contraint de tenir sous clef le système de suspension des plaques tournantes dans les gares de chemin de fer, pour éviter que les hommes d'équipe ne serrent les boulons du centre, de manière à diminuer le travail des frottements qu'ils ont à vaincre, au détriment de la stabilité de la plaque, lorsqu'un train la traverse en vitesse.

On aura de même, pour la cheville ouvrière ou un épaulementde tourillon,

S = ir(R* — R'*),

et l'expression deviendra

3(R>-R'>) -3"/QlR+R B + R7;*

* Si on désigne par e l'épaisseur et p le rayon moyen,

on peut employer la formule plus simple

GLISSIÈRES HÉLIÇOIDALES.

366. Fis à filet cerné. — Les efforts qui sollicitent une vis dans les machines présentent toujours des conditions de symétrie qui permettent de les réduire à une force dirigée suivant l'axe et un couple perpendiculaire à l'axe. Nous traiterons ce dernier comme la puissance P/?, et la première comme la résistance Q que nous supposerons dirigée de bas en haut, la vis étant placée verticalement pour fixer les idées.

Si nous étudions d'abord le mouvement descendant, le point d'appui que prend la vis sur son écrou pour vaincre la résistance se trouvera au-dessus d'elle (Pl. IF,Jig. 56), de sorte que la réaction élémentaire R de chaque point M sera dirigée de haut en bas, et fera avec la normale l'angle ^ compté en arrière de la descente et dans le plan de la normale et du glissement. Ce dernier s'effectue suivant l'hélice du point M. Le plan tangent passe par la tangente à cette hélice et la génératrice horizontale. La normale de l'héliçoïde est donc la perpendiculaire élevée sur la tangente à l'hélice dans le plan langent au cylindre qui passe par le

point M. Dès lors le bras de levier de la force R, par rapport à l'axe, sera le rayon r du point M, et son inelinaison sur l'axe < -H 9, si «désigne celle de l'hélice du point M.

iNous aurons donc, en posant l'équation de projection sur l'axe,

Q = 2Rcos(i <j>),

el celle des moments par rapport à l'axe,

P/> = ïRsin(* H-?).r.

Dans ces deux relations, i et r sont des quantités variables. Il est eîair qu'il existe pour elles des valeurs moyennes telles, qu'en les leur attribuant d'une manière constante le résultat des intégrations reste le même. Comme dans la pratique les vis de machines ont des filets étroits, nous pouvons admettre saus erreur notable pour des évaluations numériques, et sans aucune espèce d'inconvénient pour la discussion de l'appareil, que ces valeurs sont toutes les deux celles qui correspondent à l'hélice moyenne, menée par le milieu de l'épaisseur. Dans ces conditions, les formules deviennent

Q=cos(r-*-?).2R, P/> = rsin(/-h?).2R,

et l'on en tire le rapport de la puissance à la résistance

= -tang(f-hç>).

Comme l'angle y ne figure dans celte formule qu'en s'ajoutant à i, on peut résumer l'influence du frottement en disant qu'il a pour eflet de rendre la vis théorique plus rapide, d'une quantité égale à l'angle de frottement.

Dans le mouvement ascendant, l'angle a> sera compté de l'autre côté de la normale, et l'inclinaison de la réaction

DU FROTTEMENT DANS LES MACHINES. 3jl

totale sur l'axe, au lieu d'être /-h <p, sera i — (p. La formule deviendra de cette manière

- =~tang(/— ç).

L'influence du frottement sera dès lors de rendre la vis théorique plus lente d'une quantité égale à l'angle de frottement.

Si nous appliquons à la formule

? =itang(/±?),

qui comprend les deux cas, la méthode générale qui fait connaître le rendement (337), nous trouverons

ou, en développant,

tang/ tang(/=fcj)'

izp/tang/

1 ±y*coi/ '