ENGRENAGES

367. Engrenages cylindriques. — Ces engrenages ne sont plus des glissières proprement dites, mais des appareils de glissement mixte. 11 faudrait donc a la rigueur combiner avec les forces de frottement les résistances que subit le roulement. Mais ces dernières sont tellement faibles par rapport au frottement de glissement, quelles perdent toute influence dans les questions où elles s'y trouvent combinées, et qu'on est alors suffisamment autorisé à en faire abstraction.

Nous avons vu (74) que le mouvement relatif des engrenages revient au roulement simple de leurs courbes pri-

mi thés, qui sont toujours des cercles dans les machines (Pl. IF,fig. 57). Nous pouvons supposer, pour plus de simplicité, que les forces appliquées à chaque roue soient réduites à une seule, tangente à son cercle primitif. Je rappelle cucore ce principe fondamental (75), que la normale commune des dents passe incessamment par le point de contact des cercles primitifs.

Si nous écrivons pour chacune des deux roues l' équation des moments relatifs à son axe, il viendra

d'où

Qr— R [rsin(a-r- j )-+-/> si n?]==o, QV — R,[//sin(a-t-^) — /jsin?] = o,

Q = R £sin(a-h?)4- £sin?J,

Q'=R'£sin(a-4-T) — ^ sinf j,

et en remarquant que R = R' d'après l'égalité de Faction à la réaction,

sin(a 4- ?) 4- - sin y

Q sm(« + ç)-£sio?

Si donc on représente l'influence du frottement par une force additionnelle F appliquée, comme les premières, tangentiellement aux circonférences primitives, il vil

f Q-Q' r(Lr+?)sin?

sin(a-h ?)■+•- sinip

Telle est la formule rigoureuse en fonction des coordonnées polaires p et a du lieu du point de contact dans l'espace absolu.

Elle montre que le rayon p doit rester petit et l'azimut a

voisin d'un angle droit. La première condition exige que le pas soit faible et la seconde se trouve convenablement remplie dans les profils usités, pour lesquels le lieu du contact est un limaçon de Pascal (79), un cercle tangent aux circonférences primitives (81) ou une droite très-inclinée sur la ligne des centres (80).

368. Le rapport précédent est variable pendant toute rétendue du passage d'une dent. Pour obtenir sa valeur moyenne, sous une forme suffisamment simple pour devenir pratique, nous opérerons par approximation.

Nous venons de reconnaître que a n'est que peu inférieur à 90 degrés. Nous pouvons donc, sauf erreur, confondre «-+-9 avec l'angle droit, ou sin (a-f-<p) avec l'unité. D'ailleurs le pas est petit, et comme p lui reste inférieur, le

terme ^sin<p renferme deux facteurs très-petits p et <p, ce

qui permet de le négliger. Au numérateur on peut en-

core remplacer sino par »t ou dans les mêmes limites

d'approximation par/. La formule se simplifie alors de la manière suivante :

Mais en raison des remarques précédentes, p diffère peu de l'arc primitif*, et le travail élémentaire du frottement peut s'écrire

ou le travail total,

en désignant le pas par a. Or Q<j représente le travail résistant que Ton peut ici remplacer par le travail moteur,

attendu qu'il est affecté dans cette formule du facteur y et que les termes dus au frottement qui forment la dilféreuce de c es deux travaux se trouveraient par là portes au second ' ordre. Si donc nous divisons par Qcr, nous aurons le rapport du travail perdu par le frottement au travail moteur, ou la perte proportionnelle que produisent les engrenages

Pour simplifier encore l'application de cette formule, nous introduirons les modules n et n' des deux roues-:

/io=2izr, /ï'<r= 2îrr',

Tr 2r'~~/î7' et il viendra définitivement pour la perte proportionnelle

369. Dansla réalité il y a plusieurs couples de dents simultanément eu prise, mais le résultat n'en est pas modifié. Q est alors remplacé par une somme d'actions Q, Qi-h Qa-f- • . • trausmises par rinlermédiaire de chaque couple, et le facteur (Q, -f- Qt-h Qs -K.. ) 0" exprime encore le travail résistant pendant un pas, c'est-à-dire pendant l'intervalle qu'il suffit d'envisager pour avoir la perle proportionnelle, puisque le mouvement est nécessairement périodique.

Si l'engrenage est intérieur, on vérifiera facilement que le terme r' s'introduit dans les équations de moments, de la même manière que /*, tandis qu'il figure pour l'engrenage extérieur avec un signe contraire. Il suffit donc de changer dans le résultat le signe de r' ou de ri, ce qui donne

La perte est par conséquent inoins grande, ce qui cive une différence à l'avantage des engrenages intérieurs, à la vérité largement compensée par leurs inconvénients. 1

Le eas de la crémaillère s'obtiendra en faisant r1 ou n'= oo . Il viendra ainsi

ÙL

pour la perte proportionnelle.

On remarquera que dans toutes ces formules les modules figurent eu dénominateur, ce qui met en évidence l'intérêt que Ton trouve à augmenter le module en diminuant le pas.