LOIS DU FROTTEMENT DES CORDES

400. Les cordes peuvent passer sur leurs points d'appui de deux manières différentes, en y glissant ou en s'y enroulant. Chacun de ces deux modes développe une résistance spéciale. Celle qui s'oppose au glissement est appelée frottement des cordes.

Le fait fondamental est celui-ci : pour faire glisser une corde sur une jante, il faut une puissance plus grande que la résistance appliquée à l'autre extrémité. J'ajouterai que la différence augmente avec une étonnante rapidité lorsque Ton fait croître l'angle d'enroulement. J'en citerai plusieurs exemples :

Pour tirer sur un arbre qu'ils veulent abattre, les bûcherons ont soin de faire faire à la corde plusieurs tours sur le tronc d'un autre arbre. A chaque effort exercé sur la portion rectiligne qui est comprise entre les deux, la corde gagne quelque espace, qui serait immédiatement perdu en raison de l'élasticité de la tige pendant que les hommes se remettent en position, si le frottement exercé contre le deuxième tronc ne permettait à un seul ouvrier de lutter facilement contre cette réaction; on arrive ainsi progressivement à courber Parbre jusqu'à rupture de son pivot.

Le même procédé est employé par les tonneliers lors-

4l4 ÉTUDE DYNAMIQUE DES MÉCANISMES . 1

qu'ils ont à descendre un tonneau plein de liquide sur les inarches d'un escalier. Ils arrivent, en enroulant leur corde sur un corps rond, à lutter facilement contre le poids moteur qui est considérable, bien que réduit par l'inclinaison du plan.

Pour arrêter les vaisseaux dans les ports, on jette du bord une corde que les hommes du quai enroulent autour d'un tambour vertical en tirant sur l'extrémité. Leur force se trouve par là transmise au navire avec une augmentation considérable, de sorte qu'en agissant sur un trèsfaible parcours elle développe un travail capable de détruire la force vive du navire. Et cependant celle-ci est très- notable en raison de la masse qui compense la lenteur du mouvement.

Ce moyen a enfiu été employé pour retenir l'obélisque de Lonqsor pendant la rotation qui avait pour effet de le coucher horizontalement afin de le transporter de son ancien emplacement jusqu'au Nil. Des cordes amarrées aux engins qui l'enveloppaient passaient sur un tambour horizontal et étaient maintenues par les hommes à l'autre extrémité. On est arrivé ainsi à lutter contre Ténorme poids du monolithe et à l'empêcher d'acquérir une vitesse qui aurait déterminé sa rupture en touchant le sol.

Si l'on veut se faire une idée plus précise de l'excessive rapidité avec laquelle s'accroit le rapport de la puissance à la résistance, je citerai les valeurs suivantes de ce rapport dans le cas du frottemeut d'une corde de chanvre sur une jante en bois :

Nombre do tours.

Buis poli.

Rois brut.

25;5,bo

101 . On peut expliquer la rapidité de cette loi par les considérations suivantes, sur la véritâble nature desquelles il importe de ne pas se méprendre. Ce ne sont pas des déductions irrécusables des théorèmes de la Mécanique générale, mais seulement des aperçus fondés sur une hypothèse fort plausible et qui peuvent permettre de prévoir la loi ou de la vérifier après coup; mais qui, comme la plupart des calculs de Physique, ne sauraient être acceptés définitivement qu'après le contrôle d'une vérification expérimentale.

Les cordes doivent participer des propriétés des solides puisqu'elles ne sont ni liquides ni gazeuses. Mais elles en diffèrent essentiellement par la flexibilité. Nous aurons égard à cette double condition en les envisageant comme uue sorte de chapelet formé de corpuscules solides maintenus par des cordons parfaitement flexibles. Étudions le frottement d'un pareil système, d'après les lois trouvées pour les solides (346).

Le corps M sera sollicité par la réaction normale N et le frottement flH dirigé suivant la tangente (Pl. III,

ftS* 49) 5 cn oulrcî Par les deux tensions des cordons adjacents, à savoir : T, dirigée en arrière, ctT-f-dTen avant. Si nous projetons ces forces sur la tangente et sur la normale, nous obtiendrons les équations rigoureuses

( T -h d T ) cos d ô' — T cos d 0" — /N = 0, (T + dTjsinr/ô'-hTWe" - N=o,

qui se simplifient d'après la méthode infinitésimale de la mauière suivante :

dl — /.\ = o, TrfO — N = o.

On cn tire

4l6 ÉTUDE DYNAMIQUE DES MÉCANISMES.

et en intégrant avec des logarithmes népériens,

logT ==/*0 +const.

Si nous commençons l'évaluation des angles de contingence au point où la corde se détache suivant la résistance Q, cette force constituant la dernière tension, Téquation précédente fournira la valeur de la constante sous la forme log Q. On aura ainsi

logT=/0 4-logQ,

fi

Telle est la loi suivant laquelle la tension varie d'un bout à Vautre de l'arc embrassé. Si nous désignons encore par a l'angle total de contingence qui s'étend jusqu'au point où la corde se détache suivant la puissance P, on aura pour ce point

Ainsi donc, quand l'angle d'enroulement varie en progression arithmétique, le rapport de la puissance à la résistance croît en progression géométrique, et l'on sait quelle est la rapidité de ce mode de variation. On remarquera, du reste, que le profil de la jante est resté complètement indéterminé.

Pour pouvoir appliquer cette formule, il faut encore connaître la valeur de /. Je citerai, à cet égard, les nombres suivants, d'après les expériences de M. Morin :

Courroies ordinaires sur fonte, à sec /= 0,28

Courroies ordinaires sur fonte, humides o,38

Courroies sur bois, ordinaires 0,47

Courroies sur bois, neuves 0 , 5o

Cordes de chanvre, sur bois o,5o

EXEMPLES

402. Frein Jlexible. — Le frein flexible (256) consiste en une bande de tôle (Pl. XIF,Jîg. 227) amarrée à l'arrière de la rotation et tendue par une puissance P. Nous représenterons par Q la tension du brin Gxe. Ici la corde est en repos et la jante tourne dans le Sens de la flèche. Pour rentrer parla pensée dans les conditions précédentes, il nous faut réduire la jante au repos et atlribuer un glissement de sens conlraire à la corde. Ccsl alors Q qui se trouve dirigé suivant le mouvement. Son rôle et celui de P se trouvent donc intervertis, et Ton doit permuter de même les lettres dans la formule précédente

Q = Pc^K.

Quant au treuil, c'est un solide qui tourne sous 1 influence d'une infinité de forces de frottement ayant toutes le même bras de levier et équivalentes par suite à leur somme Q — P appliquée à ce même bras de levier r en arrière du mouvement. Le théorème des routions donnera, par conséquent,

il — — (Q - p)r = (g'* — QPr dt~~ p ft

si fjL désigne le moment d'inertie. On eu tire en intégrant et pour le temps 6 de l'arrêt, en faisant 0» =0,

4l8 ÉTUDE DYNAMIQUE DES MÉCANISMES.

403. Pour comparer la puissance de ce frein à celle du frein des volanls (2j6)> il suffit d'en rappeler la formule (385)

fPr'

dans laquelle P désigne la puissance, qui est alors exercée normalement au lieu de 1 être tangcnliellcmcnl. On en tire, à égalité de coefficient de frottement,

rapport aussi faible riue Ton voudra, puisque l'on dispose de a. La conclusion est donc, sous ce rapport, à l'avantage du frein flexible.

11 est nécessaire cependant que l'angle d'enroulement soit notable pour que cet avantage devienne sensible. La limite sera donnée par l'équation

d'où Ton tire

. log(i+/)

On aura, par exemple, aux deux extrémités de l'échelle des coefficients de frottement ( 40 1 ) , et ayant soin de se rappeler que le logarithme est népérien,

/=b L «, = 4 log| = 0,8925742 = 5i« 8' 26"

/= a, = 2log ^ = 0,8109302 = 469 27' 46".

AOi. 11 n'est pas indifférent d'amarrer la bande flexible à l'arrière ou à l'avant de la rotation, en exerçant au contraire la puissance en avant ou en arrière.

Si, en effet, l'amarre est à Pavant et la puissance P en

arrière, nous transportions encore h la corde le glissement en sens contraire de la rotation, et P se trouvera dirigé en avant, c'est-à-dire dans les conditions de la formule fondamentale ( 401). Nous aurons doue

Le théorème des rotations donne d'ailleurs

d» (Q — P) r (g-ytt-i) Pr dt j» p

d'où Ton déduit comme ci-dessus

Si Ton compare maintenant ces deux valeurs, il vient

cc~qui montre que la durée est supérieure, c'est-à-dire l'efficacité moins grande dans le second cas que dans Je premier. La disproportion est de plus aussi grande qu'on Je voudra puisque I on dispose de a.

40o. Courroies sans fin. — Nous avons dit que les courroies sans fin peuvent transmettre le mouvement pourvu que la tension soit suffisante, tandis que, si la courroie est lâche, la communication se trouve supprimée (236). Cherchons à déterminer le minimum Tt de tension qu'il faut développer uniformément dans toute la courroie pendant le repos, pour que la conduite puisse avoir lieu au départ.

Lorsque le mouvement prendra naissance, le brin inférieur qui mène la roue à laquelle est appliquée la résistance devra posséder une tension T supérieure à celle t. de l'autre brin. Leur relation pour la limite où le glissement serait

sur le point de se produire sera, d'après ce que nous avons vu (401),

Celle différence de tension est produite par les variations que subissent les longueurs des deux brins en raison de l'élasticité de la courroie. Mais, comme la longueur totale est iixe, puisqu'elle est formée des tangentes communes et des arcs compris en dehors de leurs poinls de contact, éléments géométriques et invariables de la figure, il s'ensuit que la somme de ces variations est fixe elle-même; car la longueur totale peut être aussi considérée comme comprenant la longueur naturelle, plus la somme des variations. On peut d'ailleurs restreindre par approximation cette dernière à celle des brins reclilignes, toujours très-longs par rapport aux portions courbes.

On sait (433) que les forces élastiques sont proportionnelles aux variations de longueur, et comme telles égales au produit de ces variations par un coefficient constant. La somme de ces forces T et t restera donc fixe elle-même. Mais chacune d'elles a pour valeur T0 avant le mouvement; on a donc

Si enfin nous écrivons l'équilibre de la roue menée, sous l'influence de la force motrice T — t appliquée au rayon r et delà résistance Q qui agit avec le bras de levier^, il vient

Il reste à éliminer T et t entre ces trois équations. On aura pour cela

D'autre part,

et, en divisant membre à membre,

Comme cette fraction est supérieure  l'unité, on tendra à l'en rapprocher, c'est-à-dire à la diminuer, en faisant croître a. De là I avantage des courroies à tangentes intérieures (214), pour lesquelles l'angle embrassé est plus grand qu'avec les courroies à tangentes extérieures. On n'a pas besoin alors de pousser aussi loin la tension moyenne, et par suite la fatigue de la courroie.

106. Encliquetage Chameroy, — Le frottement des corde s peut donner lieu à des phénomènes d'arc-boutement analogues à ceux que présentent les solides, et servir par suile pour la construction des encliquetages. Je citerai comme exemple celui de M. Chameroy (PI, XFI,Jig. 262).

Il a pour but de déterminer la rotation d'un tuyau sur lui-même, pour permettre d'assembler à vis les conduites d'eau ou de gaz dans le fond d'une tranchée où les manœuvres sont difficiles. On entoure le tuyau d'une corde attachée par ses deux bouts à un levier qu'elle serre contre ce tuyau. Lorsqu'on agit sur cette barre dans le sens de la force Q, le glissement relatif est impossible, comme nous allons le faire voir, et la rotation du levier détermine celle du tuyau. Si la force Q change de sen3, le glissement relatif devient possible, et, la résistance extérieure maintenant le tuyau, le levier et la corde glissent en arrière pour recommencer une nouvelle opération. Tel est le phénomène dont il faut trouver l'explication.

Je supposerai, pour plus de simplicité, les deux cordons parallèles: il est clair qu'on trouverait un résultat analogue avec des angles peu différents, mais les calculs deviendront parla plus simples. Le glissement tendant à se produire de

4aa ÉTUDE DYNAMIQUE DES MECANISMES.

manière que le brin inférieur précède le brin supérieur, on aura

en désignant, pour abréger, par * ce coefficient supérieur à l'unité.

Le levier est sollicité par la puissance horizontale Q, son poids vertical P, les tensions T et /T dirigées sous l'angle « par rapport à la verticale, et la réaction R du tuyau inclinée de ç sur l'horizontale. Posons l'équation des moments par rapport au centre du tuyau : il viendra

Q?— Pr— - Rrsin* — i)Tr = o.

Pour trouver R et T qui sont des forces inconnues, nous projetterons successivement sur les axes pp' et BB' élevés perpendiculairement à chacune d'elles. Nous séparerons ainsi immédiatement les deux inconnues par cette sorte d'élimination géométrique:

P cos?-*-Q sin f = (X -4- i ) T cos (a-4-ç)t Psin«+ Qcosa==Rcos(a4-v>-

11 vient, en substituant»

^Q?P^cos(a4.?)

= (Psina -hQcosa)siny -h ~ j (Pcosy Qsin?).

On en tire cette formuler