Transport sur rouleaux. — Pour montrer l'in

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RÉSISTANCE AU ROULEMENT. 401

fluence de la résistance an roulement dans l'équilibre ou le mouvement uniforme des machines, nous prendrons comme exemple le transport des matériaux « l'aide de rouleaux d'interposition (6).

Si nous écrivons pour le premier rouleau (Plm JJT fig. 60) l'équation de projections verticales, en faisantes, traction de son poids, qui est insignifiant vis-à-vis de celui du madrier ou de la pierre de taille que Ton transporte, il viendra

L'équation des moments relatifs au point À sera d'ailleurs

L'autre rouleau donnerait de même

ar.TiSsN.fA+A'}, ■

en employant les mômes coefficients, puisque les substances sont les mômes. Il vient, en ajoutant membre à membre,

D'un autre côté, si nous écrivons pour le madrier les équations de projections horizontales et verticales, comme les forces qu'il subit de la part des rouleaux sont égales et contraires à celles qu'il leur imprime, nous aurons

de sorte que l'équation précédente devient

et fournit le rapport de la puissance à la résistance,

P A -h A' Q ~ ir

L'avantage de ce mode de cransport sur les traîneaux consiste en ce qu'on pourra facilement avoir

car coefficients A sont en général très-faibles, et en outre on dispose de r. On pourra donc réduire la résistance autant qu'on le voudra en employant des rouleaux d'un assez grand diamètre.

396. Arrêt, spontané du roulement. — Pour montrer l'influence de la résistance au roulement dans le mouvement varié, nous prendrons comme exemple le ralentissement et l'arrêt d'un corps rond homogène lancé en roulant sur un plan horizontal (Pl. IP^/fg. 58).

Le mouvement d'un solide peut toujours être décomposé en une translation commune au centre de gravité et une rotation sur ce centre. Ce point se meut d'ailleurs comme s'il coudensait toute la masse et que toutes les forces y fussent transportées. Dans le cas actuel, son mouvement est rectilignc, et par conséquent la force centripète ou la somme des projections de toutes les forces sur la normale doit être nulle :

Quant à l'équation de ce mouvement recliligne, elle sera

— T ~dt ~~ M*

En second lieu, le corps tourne sur son centre de gravité comme si ce point était fixe. JNous aurons donc, par le théorème des rotations autour d'un axe fixe,

élu Tr— NA

dt ~~ Mo» '

si p désigne le rayon de gi ration. Eufin, comme le mouve-

RÉSISTANCE AU 100 LEMKMT. 4^3

ment est un roulement simple, la vitesse de glissement, c'est-à-dire celle du point de contact, doit être nulle. Mais elle 6e compose de la translation t» en avant et de la rotation r&> eu arrière; donc

v = rw, dv du

Si maintenant nous effectuons l'élimination, il viendra do d» i / T N \ i / A \

dv rA di~ ~ S ?<->rf"

Si doncôdésigne la durée totale, nous aurons, pour u= o,

g rA

En supposant, par exemple, un rouleau : p* = ^,

on aurait de même pour une bille : jO, = grf,

et ainsi de suite.

397. Oscillations d'un corps rond dans un angle , dièdre. — Nous étudierons encore un phénomène souvent employé pour manifester la rapidité avec laquelle la résistance au roulement éteint le mouvement. Je supposerai deux plans inclinés également, mais en sens inverse à partir d'une horizontale. Un corps rond descend dans cet angle

jfo4 ÉTUDE DYÎSAMIQUE DBS MÊCAMSME5.

dièdre, remonte sur le coté opposé, redescend et exécute ainsi une série d'oscillations, à la suite desquelles on le voit rentrer dans le repos. Pour analyser ce genre de mouvement, j'écarterai l'influence du choc qui se produit au fond de l'angle, en y supposant un petit congé de raccordement d'un rayon supérieur à celui du corps rond, et dont je négligerai d'ailleurs l'influence.

Commençons par étudier les circonstances du mouvement descendant. En reprenant exactement les raisonnements du problème précédent, nous obtiendrons ces quatre équations dans lesquelles / désigne l'accélération du centre :

d» Tr — N A ~Jt ~ Mo* '

On en tire, en égalant les deux valeurs de /,

TV — Mycose T

d'où

et par suite

__ p'smr -4-rA cosr

j = 8 -r- — ; ( s>« ' — - cos/ i

Il faut avant tout que le mouvement puisse prendre naissance et s'effectuer par roulement simple. La première condition exige que l'inclinaison isoil supérieure à la limite /»,

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IV GMSTANCE AU ROtLEMEM.

pour laquelle ou aurait ; = o,

sm /, cos/, = o,

tang/i =

En second lieu, pour que le mouvement soit un roulement simple, il faut que la réaction tangentielle soit moindre que celle qui se développerait dans le glissement (392), et pour cela que l'inclinaison soit inférieure à la limite #t, qui donnerait

c'est-à-dire

p' sin i, -h rA cos/, ° rT£J> =/M£COS#,,

. /"(r1 -f- o1) — r± tang /, = — pj- ,

ce qui exige encore que A soit assez faible pour ne pas rendre cette valeur négative. Supposons donc l'inclinaison comprise entre ces deux limites et poursuivons.

Pour passer de l'étude de la descente à celle du mouvement ascendant, nous remarquerons que dans le mouvement rectiligne la composante tangentielle du poids M g sin < devient retardatrice, et figurera par suite avec un signe contraire. Quant au rôle de la composante normale M g cos/, il n'a pas varié. Il nous suffira par suite de changer le signe de i pour obtenir la formule du mouvement ascendant. Nous trouvons ainsi en valeur absolue

J'=g.—-^ — (sin/ -4- - cos/V

Ainsi donc, chaque mouvement descendant sera uniformément accéléré avec l'accélération ; et chaque mouvement ascendant uniformément retardé avec l'accélération /',

4o6 I, H DB DYNAMIQUE DES MECANISMES.

que nous considérerons dorénavant comme des quanti lés connues.

398. Envisageons de suite la nièmt descente qui s'effectue avec l'accélération tangcntielle /, et sans vitesse initiale, à partir de son point le plus haut. Si /„ désigne la longueur à parcourir et vn la vitesse finale lorsque cette longueur est parcourue, on aura, en invoquant les formules élémentaires du mouvement uniformément varié,

La montée suivante s'effectue avec cette vitesse initiale et l'accélération tangcntielle /'. Elle s'étendra doue jusqu'à lu distance

On lire de là

/ -Li

Si l'on pose, pour abréger,

tang t

tangt-hr

on obtient, pour délerminer /, l'équation aux différences finies

d'où Ton déduit

En effet, cette équation, attribuant un rapport constant aux termes successifs, indique une progression géométrique, qui est d'ailleurs décroissante, puisque À est inférieur à l'un tlé.

Évaluons d'après cela le chemin total L. La première

RÉSISTANCE AU ROULEMENT. 4°y

longueur / est parcourue seulement de haut en bas, chacune des autres Test dans les deux sens. On peut donc écrire

es 2/(1 -+-A-f-*'-t~ **+..•)

doù

expression fort simple qui dépend du diamètre du corps rond, mais nullement de sa constitution physique représentée par le rayon de giration p.

Évaluons de même la durée totale du mouvement. On a, pour la montée du niim& trajet,

«•-Vr-'-Vf'

le temps dé la descente de ce trajet sera de même

et leur somme

On aura donc pour la durée totale T, en remarquant comme tout à l'heure que le premier trajet comprend seulement

4o8 ÉTUDE DYNAMIQUE DES MECANISMES.

une descente,

T+/'I=Ï» + TI + TÎ4-TJ...

= y^J (J- + JLV| + |U X 1+- . ...)

Comme d'ailleurs

il vient

-Vi *

ou, en simplifiant,

399. Pendule roulant. — Supposons enfin un corps rond de rayon r roulant dans l'intérieur d'un cylindre de révolution horizontal de rayon R, et cherchons à déterminer la loi de ses oscillations.

La seule différence que présentera, avec le cas précédent, la mise en équation du problème consiste en ce que la force centripète n est plus nulle, comme dans le mouvement tiligne, mais a pour valeur

re #|ui donne, eu désignant par / l'inclinaison variable,

N rsBIgcosi-f-M-— •

RÉSISTANCE kV ROULEMENT. 4°9

Il s'introduit par là un lerme de plus dans l'équation qui résulte de l'élirai nation

Si nous faisons, pour simplifier,

il viendra

g = — — — pi

ô — i — arc kang - «

Comme on a d'ailleurs

nous obtiendrons enfin l'équation différentielle

— — n — - 4- ~ — sin 0 = o.

dr \dt j R — r

Je suivrai, pour son intégration, l'analyse employée par Poisson pour l'étude du mouvement du pendule dans l'air, en me restreignant, comme lui, au cas des petites oscillations.

L'intégrale doit exprimer l'écart 8 en fonction du temps t comme variable et de l'écart initial a comme constante arbitraire. Pour les petites valeurs de a, l'expression peut être développée en série convergente suivant ses puissances successives, et nous y négligerons les termes à partir du troisième ordre. Comme, du reste, 0 doit rester constamment nul si a = o, la série n'aura pas de terme constant,

4lO ÉTUDE DTK AMIQUE DES MÉCANISMES.

et l'on aura simplement

(i) 0 = Pa-hQaî,

P et Q étant des fonctions du temps qu'il s'agit de déterminer. Constatons d'abord les conditions que leur imposent les circonstances initiales. On doit avoir, pour t = o,

et, par suite,

Comme en outre le pendule est abandonné sans vitesse initiale, on aura pour t = o

c'est-à-dire

Reportons pour 0 sa valeur dans l'équation. On aura pour cela, en restant dans le même ordre d'approximation,

sin0 = Pa4-Q*1,

g = r. + qv,

et en substituant,

(p" + érr p) - + («" + érr « " "p") « '= ? •

équation qui se subdivise en deux autres, puisque a doit rester arbitraire,

IIESISTAHCE AU BOULEMENT. , ' 411

La première déterminera P, et ensuite la seconde fera connaître Q.

L équation (a) a pour intégrale générale

P = Asinf y/ £ + B«< \/ïfr7

que les conditions initiales

réduisent à

(4) v = cmi^ JL-.

On en tire d'ailleurs, pour substituer dans la seconde. P'' = - sin'* J = ■■ ( , - cosaf */

L'équation (3) devient par la

' ' Q"+~—Q= ~ (,-cos2m/-^-V R— -r a^tt — r;V V ^ — r/

Elle a pour intégrale générale

que les conditions initiales

réduisent à

(5) Q=g(3-4co»/y/^4-cosa/y/i^y

En reportant maintenant, les expressions (4) el (5) dans

4l2 ÉTUDE DYNAMIQUE DES MÉCANISMES.

celle (i) de 0, il vient

ô=«cos>V^Z7.

+ % (s - 4 -, y/ gSl + cos*i y/gt)

et en ordonnant par rapport au temps,

Telle est l'équation du mouvement.

Pour connaître le temps de l'oscillation , c'est-à-dire l'instant de l'arrêt ou de la vitesse nulle, cherchons l'expression de la vitesse angulaire de la rotation du centre de la houle autour de celui du cylindre. Il suffira pour cela de diuerenlier par rapport au temps :

="i°'\/ïïÇ/('-r«+r»'>s'v/^)'

Pour annuler eo, nous ne pouvons employer le second facteur, qui diilèrc peu de l'unité, puisque a peut être rendu aussi petit qu'on voudra. C'est donc le premier qu'il faut égaler à zéro, ce qui donne

-VE=o- Tv/î£=" '^Vv2'

expression constante, identique à celle du mouvement d'un pendule simple dans le vide. L'isochronisme des petites oscillations existe donc pour les deux mouvements.