FLEXION
440. Fibre NBtmtE, — Les pièces de machines sont le plus ordinairement synicl» irpies, et sollicitées par des farces comprises dans le plan de -symétrie. 11 d< racine t!ès lors évident que la déformation s'opérera dans le plan même.
Nous supposerons d'abord, pour nous placer- dans le cas le plus simple, un prisme sollicité par des forcis perpendiculaires à la longueur.
Les calculs suivants sont fondes sur une hypothèse trèssimple, 4 ni a, du reste, subi Je tosttiôle de l'expérience.
Nous supposerons, en premier lieu, que les molécules situées dans une section droite du prisme restent, après la Jflexion, dan& un même plan normal au profil longitudinal de Ja pièce : c'est ce qu'au appelle le principe de la conservation des tranches. .Nous admettrons, en second lieu, que les fibres formées par les molécules alignées suivant des droites parallèles aux arêtes du prisme se comportent comme si elles étaient seule*, en s'allongea ni ou se raccourcissant suivant la formule fondamentale (1).
441. Taisons une section normale MG et envisageons la portion comprise! entre elle et l'extrémité. Deux groupes de forces concourent à son équilibre : en premier lien, les efforts i" appliques à des distances A de l'origine (P/. lf^, fig.Gi), et, par suite, à des bras de levier A — x de la scc-lion considérée, si .r désigne son'abscisse : ces dislances ne sont que peu modifiées par la flexion qui s'exerce dans un sens perpendiculaire, et nous pourrons faire abstraction de celle variation; en second lieu, les forces d élasticité qui sont développées dans la section même par la première partie du prisme.
Si nous projetons sur la tangente, les forces F disparaissent, puisqu'elles restent sensiblement normales, et l'équation ne renferme que les forces d'élasticité. l eur somme de projections étant dès lois nulle, elles doivent être équivalentes à un couple qui sera situé dans le plan de flexion, en raison de la symétrie. Si, en second lieu, nous posons l'équation des moments, par rapport à un axe transversal pris dans la section fixe, elle nous appre: dr i que le moment de ce couple est égal à la somme 2 F (A — x) des moments de toutes les forces appliquées.
412. Puisque les forces d'élasticité forment un couple* il s'en développe nécessairement dans les deux sens. Il y a
donc des fibres étendues et d'antres comprimées, et, par suite, il en existe une intermédiaire qui conserve sa longueur naturelle, et que Ton appelle la fibre neutre. C'est elle qui pourra servir à caractéiiser la figure de la pièce après déformation. INous résondions, pour cela, deux questions successives: trouver, d'une pari, la position de la fibre neutre dans les di Hercules sections au moyen de l'équation de projections tangentielles, et, en second lieu, sa figure dans l'espace, d'après l'équation des moments.
413. Remarquons que toutes les fibres constituent, d'api ès l'hypothèse de la conservation des tranches, des développantes d'une même développée, puisqu'elles conservent leurs distances normales. Si donc p est le rayon de courbure de la fibre neutre GG', p -f- V sera celui de la fibre quelconque MM', qui en est distante, dans l'état naturel, de MG = y.
Prenons une section voisine qui coupe la première au centre de courbure O, et soit X la distance naturelle de ces tranches. Elle exprimera encore, après la flexion, la longueur GG' de la fibre neutre dans cet intervalle, puisque celle-ci ne subit aucune altération. On aura, en assimilant les arcs des deux fibres à leurs cercles oscillateurs,
mv MO GG' ~~ GO *
d'où
GO p p
La variation subie par MM', qui était primitivement égale à X, est donc — » et son allongement proportionnel La tension sera dès lors, d'après la formule fondamentale (i), Eu y en désignant par a la section de la fibre. Si donc ces
RÉSISTA m: K DES MATÉRIAUX. 4^1
forces forment un couple, ou doit avoir
* 2Eo-=Of
c'est-à-dire, puisque E et p sont des constantes pour toutes les fibres daus la section considérée,
im» = o.
Le moment total des éléments de la section est donc nul, par rapport à la fibre neutre, ce qui prouve que celle-ci passe par le centre de gravité. Comme nous avons raisonné, du reste, pour une tranche quelconque, il s'ensuit que la fibre neutre est le lieu des centres de gravité de toutes les sections. La première question se trouve par là résolue.
' 4i4. L'équation des moments relatifs à l'intersection de la fibre neutre par le plan de la section considérée sera
v R Ru (a IF (A — x) = lEa -• ?= - lav*=. — .
Dans cette formule, p désigne le moment d'inertie de l'aire de cette section, pris par rapport à Taxe qui serait mené par son centre de gravité perpendiculairement au plan de symétrie, et que nous appellerons Y axe neutre.
On doit voir dans celle formule l'équation de la fibre neutre. Si, par exemple, les forces extérieures forment un " couple, le premier membre devient constant pour toutes les sections situées en deçà de ce couple, car il se réduit au moment du couple. On a donc
p = const.
et, par suite, toute cette portion allectc la forme circulaire.
Pour mettre celte relation sous la forme d'une équation différentielle, remplaçons le rayon de courbure par sa
valeur y
ttv'
et par approximation
car rinclinaison varie peu puisqu'on suppose la défor-
mation peu sensible, et, à ce titre, sou carié disparaît devant l'unité. La formule devient ainsi
et l'on en tire par une double intégration (3 Er\T = f f^'^f
Telle est l'équation de la libre? neutre, qui résout la seconde question.
On remarquera, comme ci-dessus (131), que cette formule
est discontinue, car le signe ^ llc s'étend qu'aux forces
comprises entre le point considéré et l'cxliL'iuilc de la pièce. Le second membre perd donc un terme chaque fois cpie l'on franchit le point d'application d'une force, et la forme du profil change avec lui.
Mo. Fatigue. — Si nous voulons, en outre, nous rendre compte d< s tensions développées, il sullira d'en chercher le maximum pour constater qu'il ne dépasse pas la limite que comporte la substance employée ( 139).
>otis avons vu que la fatigue <p, exprimée par l'allongement proportionnel de chaque fibre, a pour valeur (a)
Son maximum su trouve en général (') dans l'encastrement
où le signe ^ s'étend au plus grand nombre de forces et oit
Icuis bras de leviers prennent leur plus grande valeur A.
Dans celle section, la plus grande fatigue correspondra évidemment aux points les plus éloignés de la libre neutre, c'est-à-dire de l'axe neutre. Ce maximum a donc pour expression
si V représente la plus grande ordonnée de la section. Il sera par suite nécessaire et suffisant d'avoir
en désignant par i la limite de fatigue que Ton doit s'imposer pour les dillérents matériaux (<430).
4i6. Si, pour caractériser le prix de revient ou la quantité de matière employée, nous nous donnons l'aire de la section, nous resterons encore maîtres d'atténuer la fatigue en donnant à celte section une forme appropriée. Il fau.t pour cela éloigner autant que possible de Taxe neutre les dillérents éléments de celte surface. On augmente, à la vérité, par là le numérateur en raison de la première puissance des dimensions à cause du fat leur \ ; mais on fait aussi varier le dénominateur dans Tordre du carié, à cause du facteur /z, et, en définitive, la valeur de 4> se trouve atténuée.
Si, par exemple, on veut employer la forme rectangu-
(') Je dis fit gênait, car il peut arriver que certain*» forces soient de «ens contraire et tendent à diminuer au contraire lu somme des moment». M us il est toujours alors bien facile de trouvtr le maximum du second membre.
lairc, il faudra placer sa grande largeur dans le plan de flexion. C'est pour celle raison qu'on aruic de nervures les pièces destinées à résister à la flexion. On fera mieux encore en évidant le rectangle pour augmenter ses dimensions, «ans changer sa surface. Si ensuite on réunit dans le plan de symétrie, eu une seule flasque, les deux montants du rectangle creux, on leur donne par là plus de fermeté et on obtient le double T
comme dans les balanciers des machines de rotalion. Si l'on emploie des formes rondes, il faudra les creuser au centre. Les sections elliptiques devront de môme être évidées et placées de manière que le grand axe se trouve dans le plan de flexion.
447. Cependant cette règle n'est utile que pour une matière telle que la fonte, que l'on peut disposer par le moulage suivant toutes les formes \ ou lues. Mais avec le bois, par exemple, tout ce qu'on ôlcrait pour é vider la section dans le centre serait en pure perle, et il vaut encore mieux conserver la forme pleine. Comme celle-ci est toujours un rectangle dans la pratique et que la forme naturelle d'un tronc d'arbre est circulaire, on peut se demander quel est le rectangle qu'il sera, à ce poiuule vue, le plus avantageux d'inscrire dans le cercle.
Il suffit pour cela de calculer la quantité ~ et de la rendre
maximum. Or, si nous appelons a et b les demi -dimensions du rectangle en hauteur et en largeur, nous aurons
RÉSISTANCE ORS MATÉMAUX. 465
Nous poserons donc
a1 b — max.
avec la condition
a* 6' = const. = r-
pour que le rectangle ne cesse pas d'être inscrit dans le cercle. On tire de là
lada + ibdb = o,
et en éliminant le rapport différentiel,
d'où
Il suffira, pour construire cette valeur, de partager un diamètre en trois parties égales et de lui élever, de part et d'autre, des perpendiculaires par les points de division; elle s marqueront sur le cercle les deux autres sommets du rectangle.
S iii-
EXEMPLES
448. Pour éclaircîr ces généralités, je présenterai quelques exemples, en choisissant pour cela les cas les plus simples et les plus fréquemment réalisés par les pièces de machines.
Exemple I. — Pièce encastrée et sollicitée à son extrrmiié(PL ir,fig. 6i).
466 ÉTl DE DYNAMIQUE DES MÉCAMSMES.
Équation de la fibre neutre (3) :
Si nous intégrons sans constante pour exprimer que et —
sont nuls en môme temps que x, c'est-à-dire que la pièce est encastrée à L'origine, il viendra
Valeur de la flèche. — Nous l'obtiendrons pour lYxlrémitc en faisant x~ /:
Valeur de la fatigue. — Elle correspond à l'encastrement (4) :
VF/
Ep
149. Exemple II- — Pièce encastrée et cliaigùe uniformément (PL IV, fign 6l).
Équation de la fibre neutre. — Nous désignerons par F, la charge par unité de longueur en y comprenant le poids même de la pièce. La charge totale sera F,/ pour toute la pièce, et Fj (l — x) pour la portion de droite que nous devons seule prendre eu considération pour former l'équation de la libre neutre.
Si nous l'appliquons par la pensée au milieu de la longueur, la somme des moments élémentaires ne sera pas changée. Ce moment sera donc, par rapport à Itf section variable, — — i et l'équation (3) deviendra
Elle a pour intégrale
avec deux termes arbitraires, l'un constant, l'autre en x. Mais nous devons, comme dans le cas précédent, supprimer tou'e cette partie pour exprimer l'encastrement à l'origine et borner le second membre à ses trois premiers termes :
24 Epy = F, (*♦ — 4Lr3-h6/,xî).
Valeur fie la flèche. — Nous l'aurons pour x = / :
Si on remarque que F1 / remplace la quantité F de l'exemple précédent, on voit que la flèche n'est que les \ de celle du premier cas.
Valeur de la fatigue. — Elle correspond à l'encastrement (4)
V « F|/.— ^ 2 VP, /*
~~ tu ~~ liEpT* Elle n'est plus que la moitié de celle du premier cas.
4o0. Exemple III. — Pièce encastrée, chargée uniformément et sollicitée à son extrémité (Pl. IF, fig. 61).
C'est la réunion des deux conditions précédentes, ou, si l'on veut, la correction apportée au premier exemple pour avoir égard au poids de la pièce.
Équation fie la fibre neutre. — Nous l'obtiendrons en réunissant les deux précédentes :
Valeur de la flèche :
/a5Sçls -»-■«-)•
Valeur de la fatigue :
151. Exemple IV. — Pièce posée sur deux appuis et chargée uniformément (Pl. IV, fg. 62).
La charge totale étant Ftl, chacun des points d'appui
supporte l'effort — et oppose une réaction égale. Chaque
moitié de la pièce peut donc être considérée comme encastrée au milieu de la longueur totale et fléchie à son extré-
mité pa r cet eflbrt — Il suffit par suite d'appliquer les for-
mules du cas précédent en changeant / en - et F en ^- ,
car les forces sont maintenant de sens opposés. I! vient ainsi :
Équation de la fibre neutre ;
E^=Ji('2^-3/«)^.
Valeur de la flèche. — Nous aurons, sauf le signe,
384 Ej*
Elle n'est plus que les ~ -, ou environ de celle du premier cas.
V ulcur de la fatigue :
