SI- VARIATION CONTINUE
137. Il nous reste à envisager un certain nombre de cas, relativement exceptionnels, où les engrenages sont employés à produire un rapport de vitesses variable. On conserve cependant la forme primitive circulaire, et c'est par un agencement pariieulicr qu'on réalise cette variation. >ous distinguerons, pour plus de < lartc, quatre genres différents :
Premier genre. — l aria t ion continue.
Second genre. — Variation brusque.
Troisième genre. — Intermittence.
Quatrième genre. — Changement de sens.
138. Variation continue. — Roues de Jlccmer. — Rœnier, astronome Danois, a employé pour produire le mouvement des planétaires suivant la loi des aires un système de deux roues d'angle [Pl. FUL jig. ia3), l'une ordinaire, l'autre portant des dents très-couries disposées le long d'une courbe quelconque. La transmission s'cilectue dès lors d'après un rapport de rayons primitifs qui varie à chaque instant.
Je me proposerai de formuler la théorie générale de cet appareil en cherchant l'équation polaire en /• et 0 de la
ENGAENÂGES IRHBGI/LIK.IU». l63
courbe plane, qui, enroulée sur le cône, produira pour le rapport des vitesses angulaires une loi de variation assignée arbitrairement,
Dans cette relation, ç désigne l'angle du rotation du la roue à courbe que nous supposerons irrégulière, tandis que la roue d'angle conserve une marche uniforme w'. On a, d'une part,
/0> w t» A — o A — rsina
» p (> rsina
et d'autre part, en évaluant de deux manières l'élément de section droite,
pr/y == rdQ,
, r ;n f,° df sa - ttO as - — ,
0 sin a
* ~ sina
Il vient, par conséquent,
rsina
rsina / • \
ina \sina/
d'où Ton tire l'équation de la courbe cherchée
139. Exemple. — Prenons comme exemple la transmission sinusoïdale
la courbe directrice sera
i+a + 4 eus
Uigitizeo
l64 ÉTUDE GÉOMÉTRIQUE DES MÉCANISMES.
On y reconnaît le profil de galets dérivé des sections enniques (25).
Si on dispose de l'ouverture du cone pour faire
n — sinx,
on obtiendra les sections coniques elles-mêmes.
Si les constantes de la loi de mouvement remplissent la condition
i + fl + i =o,
on trouvera les galets qui dérivent de la parabole, et pour
n = sin«
la parabole elle-même.
Nous avons vu, d'ailleurs (23), qu'en disposant convenablement des coefficients ces profils sont des transformées par développement des sections planes du cône. Dans ce cas, la ligne de Rœraer, que l'on obtient par enroulement du profil trouvé, sera elle-même cette section plane du cône de révolution.
140. La directrice capable de reproduire la loi des aires dans les planétaires rentre précisément dans cet exemple général, comme je vais le faire voir.
On sait, en clïct, que celte loi revicut à ce que la vitesse angulaire des planètes varie en raison inverse du carré de leur distance au soleil, ou du rayon vecteur d'une ellipse. Comme ce rayon a pour expression
i — c cos y '
et que d'ailleurs la seconde vitesse angulaire peut être, pour plus de simplicité, supposée constante, on aura
£ = — eco»t)»=X(t- 7ccos7),
KNCREN AGES IRHEGCLIF.RS. l65
en négligeant le carré de l'excentricité, qui est très-faible pour les planètes et les satellites. On retombe ainsi sur la formule de transmission sinusoïdale.
141. Jiouagc (V lluyghcns. — On rencontre dans le planétaire d'Huyghens un système (PL Vlll, fig. 124) formé d'un long pignon à lanterne, engrenant avec une roue d'une forme particulière : c'est une sorte de crémaillère enroulée sur un cylindre, et dont les dents se trouvent disposées comme les fleurons d'une couronne. Cette roue tourne autour d'un point autre que son centre pour produire l'irrégularité.
Comme le pignon fait passer dent pour dent de la crémaillère, les arcs dont il tourne sont égaux à ceux dont le point de contact tourne autour du centre de figure de la roue. Le rapport des vitesses angulaires est donc proportionnel à celui des angles qu'un déplacement infiniment petit du point de contact sous-tend dans la roue, par rapport au centre de figure et au centre de rotation (PL IJJ, fig. 36). C'est précisément le mode de transmission que nous avons déjà rencontré (48), et Ton voit que le rouage irrégulier d'Huyghens est, au fond, équivalent au renvoi de rotation de Whitworth.
142. Rouage êpicycloUal excentrique. — La roue excentrique A mène la roue concentrique B par l'intermédiaire d'une roue épicycloïdalc C (PL FIJI, Jig. ia5). Le contact est constamment maintenu entre A et C, B et C par des liens invariables établis entre les centres de figure, et égaux aux sommes des rayons.
Nous ne nous arrêterons pas ici à donner une théorie détaillée de cet organe, car nous la retrouverons bientôt pour un mécanisme équivalent (156). 11 est évident, en effet, que le système actuel revient à celui de deux manivelles (l'excentricité de la roue A et le lien des roues B
î66 ÉTUDE GEOMETRIQUE DES MÉCANISMES.
et C) reliées par une birlle (la bride qui réunit les roues AetC).
VAniATION BRUSQUE.
143. Roues complémentaires. — On réalise des varialions brusques dans le rapport dos vitesses, en changeant brusquement de rayons primitifs (/V. / III t Jig. 126). Mais les roues ainsi formées ne sont pas arbitraires dans toutes leurs partir*. Je vais me proposer de déterminer d'uuc manière générale les conditions qu'elles doivent remplir.
Eu premier lieu, les deux rayons primitifs correspondants doivent toujours être complémentaires, cl reproduire par leur somme la dislance des centres, si ou suppose pour fixer les idées les engrenages extérieurs
(1) n-^rJaeA,
En second lieu les arcs primitifs correspondants doivent être égaux, .puisqu'ils sont destines à rouler l'un sur l'autre :
Il est clair d'ailleurs que Ton a, en étendant la somme à tous les angles de chacune des roues ,
Cette dernière formule «c transforme, d'après les équations (t) et (2), de la manière suivante :
*:N<uiENAr:E6 innÉciiUERs. 167 Si on3'ajoute avec la formule (3), mise sous la forme
ou trouve celte autre plus simple :
c'est-à-dire
On obtient par là, sous la forme (3) et (5), les deux conditions relatives aux éléments d une quelconque des ilcux roues, en les isolant de ceux de la roue conjuguée.
\\\. Si nous nous restreignons en particulier au cas de deux rayons, ces conditions deviendront
On en tire, par l'élimination,
Air.— n).
On voit qu'aucun des rayons ne peut être égal à la moitié de la ligne des centres, c'est-à-dire qu'on ne peut pas réaliser dans cet appareil un intervalle d'égalité de vitesse; •car les dénominateurs s'annuleraient en même temps que les numérateurs « et les angles ne seraient plus déterminés. Et, en efTct, si les rayons étaient égaux, ainsi que leurs arcs, il en serait de même de leurs angles. Il resterait donc des angles égaux pour des rayons différents, ce qui est impossible} ou pour des rayons égaux, mais alors ils forme-
1 68 ÉTl/DE GÉOMÉTRIQUE DES MÉCANISMES.
raient encore la moitié de la ligne des centres, et il n'y aurait plus variation de vitesse.
Aucun des rayons ne. peut donc être celui du cercle moyen. Nous allons reconnaître qu'il est nécessaire et suffisant que dans chaque paire ils soient l'un supérieur cl l'autre inférieur à ce dernier. Supposons, en effet,
comme les dénominateurs sont de signes contraires, il eu doit être de même des numérateurs. Leurs seconds facteurs sont essentiellement positifs, et, quant aux premiers, celui de 0, est le plus grand. On doit donc avoir
ar, — A<o, ar, — A>o,
d'où
Ainsi la condition est nécessaire. Elle est de plus suffisante , car la seconde restriction est que chacun des angles soit inférieur à arc, ou que l'on ait pour le premier, par exemple,
Or, on reconnaitra facilement que celle inégalité revient à la suivante :
(A-r^ar,— A)<o,
laquelle est satisfaite en raison des précédentes.
145. Considérons enfin le système binaire le plus simple de tous, c'est-à-dire celui dont les deux roues sont pareilles (PI. VHJ) Jig. 127). Ce ne peut ôtre par les arcs semblables qu'elles se conduisent, car les rayons simultanés doivent être complémentaires ; c'est donc par les arcs dissemblables. Mais ils sont isopérimètres d'une roue a l'autre, et, comme toutes les deux doivent être identiques,
ENGRENAGES IRRÉGILIERS. 1 6g
ils seront isopéri mètres sur une même roue. La condition nécessaire et suffisante est donc que sur chacune d'elles les rayons soient complémentaires à la ligne des centres, que les angles le soient à 36o degrés, et qu'ils soient en raison inverse les uns des autres.
La Jig. 127, Pl. FUI, représente un de ces systèmes pour lequel on a pris
