Considérons maintenant la seconde, la troisième et

bielles. iyy

la cinquième catégorie, c'est-à-dire la connexion, de deux pièces tournantes ('). Nous appellerons pôles les intersections de la ligne de» centres avec chacun des cercles, et segments les distances d'un pôle pris sur l'un des cercles à chacun des pôles de l'autre. Parmi ces quatre segments nous en distinguerons encore deux moyens et deux externes. Ces derniers, à savoir le plus petit et le plus grand des quatre, mesurent la moindre et la plus grande distance commune des deux cercles.

Une première condition commune aux trois catégories, et évidente par elle-même, est que la longueur de la bielle soit comprise entre les segments extrêmes. Il serait, en effet, sans cela impossible que l'une des articulations élaut placée sur un cercle, l'aulre extrémité pût se trouver sur le second.

La condition du mouvement continu ou alternatif sur l'un des cercles est ensuite que l'articulation qui s'y meut puisse ou non franchir ses deux pôles. Il faut à cet égard, pour chaque pôle, que la bielle soit ou non comprise entre les deux segments qui y aboutissent. Cela revient à ce que sa longueur soit ou non comprise entre les deux segment» moyens. En effet, les deux segments de l'un des pôles seront : ou les deux moyens, ce qui démontre la proposition; ou les deux extrêmes, auquel cas l'autre pôle fournil les deux moyens ; ou enfin un moyen et un extrême. Dans ce cas, la bielle doitètre inférieure au segment moyen adjacent au minimum et supérieure au segment moyen adjacent au maximum, puisque, d'après ce qui précède, elle est toujours comprise entre le segment minimum et le maximum. D'après cela, pour la troisième catégorie, qui présente

(l) Cette discussion a été, à la forme près que nous lui donnons ici, présentée pour la première fois par M. Girault, professeur à la Faculté de Caen. On en facilitera l'intelligence en dessinant au fur et à mesure les différentes dispositions indiquées.

l8o LTOHE CCOMETIUQUE DES MÉCANISMES.

deux rotations alternatives, la condition sera que la bielle, tout en restant comprise entre les segments extrêmes, ne le soit pas entre les segments moyens.

159. Portons maintenant notre attention sur la .seconde catégorie, qui réunit deux rotations continues. 11 devient nécessaire de supposer, au contraire, la bielle comprise entre les .segments moyens. Mais la disposition des cercles ne peut plus être laissée quelconque. Pour la préciser plus clairement, appelons C et c les centres du plus grand et du plus petit cercle. Plaçons la ligne Ce horizontalement. C à droite et c à gauche. Appelons À, B; «, b le pôle droit et le pôle gauche du grand et du petit cercle.

Le pôle A, étant le plus à droite des quatre, présente parmi ses deux segments le maximum Al ; l'autre A a est donc le moindre des deux, et comme ils doivent, pour le passage en A , comprendre la longueur / de la bielle.

/>Aa.

Au passage en 15, / doit être de même inférieur au plus grand des deux segments adjacents Ba, B&. Ce sera évidemment celui qui contient le milieu c de la distance ab. Or, si nous supposons d'abord c extérieur à la grande circonférence, c'est-à-dire situé à gauche de B, il se trouvera du même côté que 6, et par suite sur B6. On aura donc

c extérieur t<C.Bb;

et on trouverait de même

c intérieur /<B«.

En rapprochant ces inégalités de la précédente, nous en déduisons

c extérieur B6> A«r,

c intérieur Ba>Aa.

La première est impossible. En effet, Aa est formé de la somme ou de la différence (suivant que les cercles sont

BIELLES. I 8 t

extérieurs ou sécants) du grand diamètre AB et du segment minimum Ba$ et B& est composé de même avec le petit diamètre ab et ha. Le premier est donc supérieur au second. Aussi, il devient nécessaire de supposer que c soit intérieur à la grande circonférence ; mais alors la dernière inégalité exige que a soit plus rapproché de A que de B, ou se trouve à droite du milieu C de leur distance. Ce centre se trouve donc lui-même intérieur à la petite circonférence, et par suite chacun des deux cercles doit renfermer le centre «le l'autre.

160. Il reste enfin à considérer la cinquième catégorie, qui comprend une rotation continue et une alternative. Ce cas se présentant nécessairement lorsque aucun des deux précédents ne sera réalisé, la condition est que la bielle restant romprise entre les segments moyens, le centre de la grande rirconférenre soit extérieur à la petite.

Nous pouvons, par conséquent, résumer de la manière suivante ce qui est relatif aux trois derniers cas, renfermant toutes les combinaisons de deux pièces tournantes : i° deux balanciers, lorsque la bielle est comprise entre les segments extrêmes , mais non entre les segments moyens, quelle que soit d'ailleurs la disposition des centres; 2° deux manivelles, lorsque la bielle est comprise entre les segments moyens et que le centre de la grande circonférence est intérieur à la petite ; 3° manivelle et balancier, lorsque la bielle est comprise entre les segments moyens et que le centre de la grande circonférence est extérieur à la petite.

161. Mentionnons enfin les hypothèses limites relatives à l'égalité des rayons, ou à l'égalité de la bielle et d'un des segments, ou enfin à la position des cercles, comme le cas de tangence, ou de la position du centre de chaque cercle sur l'autre ou des deux en un même point. On peut par là donner lieu à un très-grand nombre de cas particuliers, qu'il

l82 ÉTIDE GÉOMÉTRIQUE DES MÉCANISMES.

serait trop long d enumérer en détail. Il est seulement nécessaire d'être bien prévenu sur ce point, qui peut donner lieu à des exceptions pour nos règles générales.

162. Points morts. — Lorsqu'on voudra, dams un mouvement alternatif qui s'effectue sur uu cercle C, trouver les points extrêmes, il faudra chercher le maximum d'éloignement ou de rapprochement que son articulation peut subir par rapport à l'autre centre c. Mais le rayon et la bielle forment dans l'espace un triangle que ferme celte distant e, et par suite celle-ci sera intermédiaire entre leur somme ou leur différence. Les limites de la distance seront donc celte somme et celte différence elles-mêmes, et il suffira, pour trouver les positions extrêmes sur le cercle C, de prendre ces longueurs pour rayons de deux cercles de construction décrits de c comme centre. Il est bien clair d'ailleurs, en raison de la symétrie, qu'on trouvera toujours double intersection de chaque côté de la ligne des centres.

Pour les positions ainsi obtenues, le triangle en question s'aplatit, de sorte que la bielle et le bras se trouvent sur la même ligne droite, en prolongement ou en recouvrement Tun de l'autre. Si donc la pièce C est menante et c conduite, il sera impossible de déterminer la mise en marche de l'appareil à partir de ces points. On les appelle pour cette raison points morts, et on se rappellera que les points morts de l'un des corps tournants correspondent aux points limites de l'autre.

L'existence des points morts constitue, pour la transmission de mouvement à l aide des bielles, un grave inconvénient. JNour indiquerons plus tard les moyens qne l'on emploie pour lever celte difficulté. Constatons seulement ici que la combinaison de deux manivelles ne présentera pas ce défaut, ou que la bielle n'y passera jamais par aucun des deux centres. En effet, chacun des deux mouvements

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csl alors continu ; il n'a donc pas de points limites, cl par conséquent l'autre ne peut avoir de points morts. Mous savons d'ailleurs ( I ."»■)) que les deux rotations étant toujours alors de même sens, la bielle laisse nécessairement les cendres d'un même côté.