POULIES

190. Poulies simples. — La pjulie est le point d'appui sur lequel la corde passe en faisant moins d'un tour (Pl. XI, fig. 168). On y distingue deux parties : l'une fixe, appelée chape, amarrée par un crochet à un point fixe; l'autre mobile, ou noyau de la poulie, pouvant tourner autour d'un axe que porte la chape.

Le noyau est ordinairement rond pour les cordes ou les courroies. Pour les chaînes, on emploie un polygone régulier, dont le côté est déterminé d'après le chaînon. On peut aussi, comme dans l'ancienne machine à vapeur de. Savary eiINcwcomen, n'avoir qu'un simple secteur (Pl. XI, fig. 169) lorsque le mouvement est alternat if.

La jante du noyau est creusée en demi-tore, ou en double cône pour les cordes; légèrement bombée pour les courroies, dont cette forme facilite l'adhérence; plate et garnie de saillies pour les chaînes de Gall et de Vaucanson. M. INeveu construit encore des jantes polygonales dont les faces sont alternativement plates ou creusées en rainure pour la chaîne ordinaire dont les chaînons se succèdent dans des plans perpendiculaires l'un à l'autre.

Les poulies sont à axe lorsque le noyau porte un axe et la chape des œillets, ou à oeil lorsque c'est l'inverse.

Elles sont calées lorsqu'elles sont solidaires avec l'arbre qui les porte, ou folles quand elles tournent librement sans lui.

Les poulies sont encore appelées fixes quand la chape est fixe, el mobiles lorsqu'elle se meut dans l'espace. A proprement parler, c'est l'axe de la poulie auquel se rapporte cette désignation.

cordes. an 200. Poulie mobile. — La combinaison la plus simple est celle d'une poulie fixe et d'une poulie mobile qui porte ordinairement un poids, et dont on détermine l'élévation en tirant sur k brin libre (PL XI, Jig. 170). Il existe entre la vitesse de tirage du brin et la vitesse d'élévation du poids un rapport très-simple qu'il n'est pas inutile de connaître.

On a, en effet, en projetant horizontalement et verticalement le contour qui s'étend du point d'attache au point maximum de la poulie fixe,

«= (>. + X')sin?-h (2r + r')cosf,

ou, en différen liant,

0 = sin, .rfp + V) + [(l + V) cos? — ( 2 r -h r') sin ?] r/f.

D'autre part,

y = \ cosy — rsin?,

y ss Vcos? — (/■-(- r')sin? — b,

et en ajoutant,

2/ = (X-hX')cos? — (2r-f- r')sin7 — b,

puis difterenliant

2û^ = cos?.rf(> +-V)— [a4-r)sinî-t-^.r-Hr'} cos7]rff

Si maintenant on multiplie les deux équations différentielles par sins et coso et qu'on les ajoute, il vient

2<//cos? = d [l + V) — (»r + r') dv Si enfin on évalue le contour lui-même, on trouve

rf/=rf(). + V)-(j.r+r')rf?.

On a donc, en profilant de la réduction remarquable qui s'opère

dl = idycosy,

d'où le rapport des vitesses de tirage et d'élévation

dl

- = 2cos?.

201 . Moufles. — La combinaison précédente constitue le cas le plus simple des moutlcs ou palans. On y peut distinguer deux chapes, supérieure et inférieure, portant chacune plusieurs poulies. Une corde, attachée à un crochet qui est fixé lui-même à Tune des chapes, passe alternativement sur les poulies de la seconde et de la première, et se détache librement de la dernière poulie de la chape supérieure. Le module sera donc pair ou impair, suivant que le crochet se trouvera à la chape supérieure ou inférieure, ftous le désignerons par n.

Supposons les chapes assez éloignées pour que l'on puisse considérer tous les cordons comme parallèles. Une élévation donnée du poids ou un rapprochement des chapes occasionne un raccourcissement égal de chacun des n brins et, par suite, un tirage n fois plus grand du brin libre. Ainsi donc le rapport des vitesses de tirage et d'élévation est marqué par le nombre des poulies; d'où il faut conclure immédiatement qu'on ne peut réaliser au moyen des moufies que des rapports de transmission exprimés par desnorabrrs entiers; condition encore plus restreinte que celle que nous avons obtenue pour les engrenages (109).

D'après cela, considérons le brin de rang h à partir de celui qui est fixé au crochet et que nous considérons comme ayant le rang zéro. On peut l'envisager comme le brin libre d'une moulle de k poulies. Sa vitesse sera dès lors A fois celle d'élévation. On voit par la que les vitesses des différents brins croissent en progression arithmétique.

coudes. ai3

Comme d'ailleurs ces vitesses sont égales à celles des jantes, puisqu'il n'y a pas de glissement, et que celles-ci sont le produit des vitesses angulaires par les rayons, on peut employer deux dispositions différentes : ou bien des poulies à œil ayant môme rayon et libres de prendre des vitesses en progression arithmétique, ou bien des poulies calées sur un même axe et prenant par suite une même vitesse avec des rayons en progression arithmétique.

202. Les moufles que l'on rencontre dans les machines se rattachent à trois types différents.

Dans le palan ordinaire employé par la marine et par les pontonniers, les poulies sont égales et emboîtées dans une enveloppe qui les garantit des chocs. Elles doivent donc être à œil et enfilées sur l'axe de la chape (Pl. XI, Jig. 171).

Dans la moufle de Whilc, les poulies ne forment qu'un seul corps pour chaque chape. Elles ont alors nécessairement des rayons en progression arithmétique (Pl. XI, fig. 172).

Dans la motijle plate, les poulies sont placées l'une audessous de l'autre. On prend ainsi beaucoup de place en hauteur, mais on en gagne en épaisseur. Les rayons vont en diminuant, afin d'éviter que les brins ne se gênent mutuellement (Pl. XI, fig. 173).

203. Trains de moufles. — On augmente encore la rapidité de la transmission en disposant une série de moufles à la suite l'une de l'autre, de manière que le brin libre de chacune soit amarré au crochet de la moufle suivante. La fig. 174, PI' XI, représente ce dispositif. Les chapes fixes ont été marquées de la lettre F et les chapes mobiles sont désignées par M.

Cherchons le rapport de la vitesse de tirage vt du brin libre de la dernière moufle et de la vitesse d'élévation e4 de la chape mobile de la première. Nous aurons pour cha-

ai4 ÉTUDE GÉOMÉTRIQUE DES MÉCANISMES.

cune des moufles, d'après le résultai précédent (201),

r, = ntPt ,

et, en multipliant membre à membre ('),

Dans le cas particulier où toutes les moulles ont le racine nombre de poulies, cette formule devient

!20i. Il est important de savoir si cette combinaison doit être préférée à une moufle simple qui comprendrait les nk poulies employées.

Le rapport des vitesses serait alors lût, et, par suite, il y aura avantage, s'il est moindre que nl, car un même nombre de poulies produira avec le train une modification plus sensible; ce qui revient à dire qu'à transformation égale, le train exigera moins de poulies que la moufle simple. Cherchons donc si la quantité

est positive. Nous pourrons pour cela lui substituer celle autre plus simple

ear n et k sont positifs comme étant égaux ou supérieurs

(•") On peut aussi, pour réaliser des rapports de vitesse fractionnaires, au lieu de relier la chape inférieure de l'une des moufles au brin libre de la suivante, mettre directement en commnnication les deux chapes inférieures.

coRDEô. ai 5

à 2. Or celle fonction s'annule dès que » = /, = 3, et elle reste toujours croissante ; car sa dérivée relative a A

**-' logn — 1

est elle-même positive pour les valeurs initiales /j = A = 2 (qui la réduisent à la valeur log4 — ï? dans laquelle le logarithme est népérien), et toujours croissante avec n et A.

20o. On peut encore chercher le module Le plu* convenable, c'est-à-dire celui qui rendra minimum le nombre de poulies à égalité de rapport de vitesses.

Dans ce but, nous poserons

d'où, en prenant les logarithmes népériens,

log/i

Le nombre de poulies deviendra par là

rtk = logfl r— —

Si nous égalons à zéro sa fonction dérivée, il viendra

log« — 1 = o, n = e = 2,71828. . .

Nous prendrons donc celui des deux nombres entiers qui

comprennent e, pour lequel a la moindre valeur

On pourra, à l'aide de ces moufles triples, réaliser les rapports suivants de vitesses :

tsst, 2, 3, 4, 5..., a = »i* = 3, 9, 27, 81, 243...

2l6* ÉTUDE GÉOMÉTBIQUE DES- MÉCANISMES.