OA

On a donc, en égalant ces deux expressions,

ÔA — ÔÂ' '

ce qui montre que nous avons trois points en ligne droite : O centre de l'arbre tournant, Q centre instantané de la coulisse, et D point de concours des deux bielles d'excentrique.

De là la construction suivante : si l'on prolonge les bielles d'excentriques AB, A' B' jusqu'à leur rencontre en D, et qu'on tire deee point une droite DO par le centre de l'arbre tournant, elle coupera la bielle de relevage 11K au centre instantané £1 de la eoulissc.

Le rapport des vitesses de rotations instantanées de l'arbre tournant et de la coulisse admettant, comme nous l'avons vu, l'une ou l'autre des expressions

dont les dénominateurs restent constants, on voit que ce rapport varie comme la distance du centre instantané à l'une quelconque des bielles d'excentrique comptée parallèlement à son excentricité.

ni* ÉTUDE GÉOMÉTRIQUE DES MÉCAMSMES.

EMBRAYAGES PAR SOULEVEMENT.

22i. Palier à soulèvement. — Un moyen très-simple, en théorie, d'établir on de supprimer la communication entre deux roues dentées consiste à supporter le pivot de l'une d'elles sur une crapaudine à vis, qui permet de l'élever on de l'abaisser de manière à la mettre ou non en regard de l'autre [Pl. XII, fig. 190). En pratique, ce procédé est assez incommode et ne s'applique convenablement que dans le repos.

225. Trains complémentaires. — En partant de ce principe on peut indiquer un moyen de faire varier le rapport de transmission de plusieurs manières différentes. Il suffit pour cela de monter sur l'arbre fixe et sur celui qui est susceptible de glisser dans sa propre direction deux séries de roues dont les rayons soient complémentaires, de manière à leur permettre d'engrener ensemble.

Il faut alors établir entre ces roues des intervalles convenables pour qu'une seule paire se trouve à la fois en prise. La jig. 48, P/. III t représente celte disposition, sauf un jeu qu'il est toujours nécessaire de laisser dans la pratique. Les intervalles sont égaux, pour l'arbre mobile, à o, 1, 2, 3,. . . largeurs de roue, et pour l'autre ai, 2, 3, 4 . largeurs. Un déplacement d'une largeur désunira la première paire, réunira la seconde, et ne rejoindra pas encore la troisième ni les suivantes. Un déplacement de deux largeurs désunira la première paire, dépassera le but pour la seconde, rejoindra la troisième, et ne suffira pas encore pour la quatrième et les suivantes; et ainsi de suite.

Si l'on désigne par n le nombre des roues de chaque

EMBRAYAGES. a33

arbre, / leur largeur commune, L la longueur de l'arbre inférieur, et L' celle de l'arbre supérieur, on aura

L=/i/ + [i+2+3+...+ (fl-i)]/

et

L'=/?/ + [n-a+3+... + (ff-2)]/

ce qui revient à ces formules très-simples :

226. Quant à la méthode qui permettra de déterminer les rayons en vue d'une série donnée de rapports, je l'expliquerai, pour plus de clarté, sur un exemple; mais il sera" facile d'en dégager le principe général.

Proposons -no us de réaliser la série

Il I 124

en nous imposant, pour plus de simplicité, la condition que le pas soit le même pour toutes le* roues. La somme des rayons étant constante comme égale à la ligne des centres, il en est de même, en multipliant par 27:, de la somme des circonférences, et, en divisant par le pas, de la somme des modules. Mais les modules sont réciproquement proportionnels aux deux termes des fractions proposées (I0B). Celle somme constante des modules est donc un multiple de chacune des sommes des deux termes de fractions proposées, à savoir :

11 convient, par suite, de la prendre égale à leur plus petit

commun multiple

et il ne reste plus qu'à partager ce nombre en deux parties proportionnelles aux termes de chacune des fractions, ce qui fournit les modules

90, 120, 1 35 , i44, 108, 100, 90, 60. \5, 36, 7'Ji, 80.

Si les rapports ne sont pas assignas, il convient, pour économiser les modèles de fonderie, de prendre deux stries identiques pour les deux arbres. On pourra dès lors se donner la moitié ou la moitié plus un des termes successifs, suivant que leur nombre total est pair ou impair, cl les autres s'en déduiront par la condition que la somme des termes ctjuidistants des extrêmes soit constante et égale à l'intervalle A des axes.

On pourra, par exemple, employer une progression arithmétique, puisque, dans cette sorte de série, la somme des termes équidislants des extrêmes est toujours la même ('). Les rayons seront alors

A aA le à n A

227. Trains non complémentaires. — On peut, à la vérité, pour réaliser des séries qui ne remplissent pas la condition précédente, renoncer à l'emploi des rayons complémentaires [Pl. XII, Jig. 191). On a recours alors à un

(') Maison n* pourrait employer une progression géométrique, comme ou l'a parfois avancé par tnegarde. Ln effet, la somnio et le produit des termes equiJUUnts des extrêmes devraient être à ia fois couslanls, ce qui est impossible.

EMBRAYAGES. a35

mécanisme assez compliqué et un peu faible, qui est cependant employé par les tourneurs.

Les deux arbres sont fixes et portent des roues quelconques placées en regard les unes des autres. On établit la communication d'une paire quelconque en amenant dans son plan une roue auxiliaire, que l'on installe de manière à ce qu'elle soit tangente aux deux proposées. A cet effet, le palier de celle roue est porté par une pièce susceptible de s'élever dans une rainure reeti ligne de manière à faire varier l'ordonnée du centre. Le montant dans lequel est pratiquée celte rainure peut lui-même glisser horizontalement dans une seconde coulisse, pour que l'on puisse disposer à volonté de l'abscisse. Enfin celte coulisse peut être transportée parallèlement à elle-même, afin de permettre d'amener la roue auxiliaire dans le plan des -paires successives.

On prend encore, pour plus de simplicité, des séries identiques pour les deux arbres; et il devient possible, dans ces conditions, d'adopler comme la plus naturelle la progression géométrique

r, Àr, A3r, . . . , A*r, . . . , À*-'r, A«-r, a— V, X— »r, . . . , À-*-r, . . . , r,

le rapport de transmission variant alors lui-même suivant une progression géométrique

228. Trains multiples. — On obtiendrait un plus grand nombre de variations en laissant la roue intermédiaire dans un plan fixe, cl y amenant successivement toutes celles des deux arbres, de manière que chacune des roues de l'un pût être mise en relation avec toutes celles de l'autre. Le nombre de combinaisons sera alors le produit

a36 ÉTUDE GÉOMÉTRIQUE DES MIXANI S M E s .

des deux modules, et l'on aura avantage à prendre ces derniers égaux pour obtenir, avec une quantité de roues donnée, le plus grand nombre possible de variations. On sait, en effet, que le produit de deux facteurs qui ont une somme fixe devient maximum lorsqu'ils sont égaux.

229. Mais on obtient une solution préférable en rentrant dans le dispositif précédent et en employant seulement un plus grand nombre d'arbres. On reliera pour cela les arbres proposés A0 et Ap au moyen de p — i arbres intermédiaires A,, pour chacun desquels nous appellerons né le module

ou le nombre de roues j y^, la raison de la progression des rayons ; À, le rang de la roue mise en communication avec l'arbre précédent, et enfin Q un coefficient constant. On aura alors, en appliquant la formule précédente de chaque arbre au suivant,

et, en multipliant et désignant, pour abréger, par C le coefficient constant,

Si nous faisons actuellement

EMBRAYAGES.

la formule deviendra

On peut, d'après cela, en disposant convenablement de Ar, , A,,. .., hf% obtenir la série des puissances de fz,, c'est-àdire une progression géométrique continue. Supposons, en effet, toutes les quantités A, nulles, sauf celles dont nous allons disposer successivement. Eu faisant varier A, de zéro à n, — i, on obtient les exposants consécutifs de zéro à n, — i. Remettant A, à zéro et prenant Aj,= i, on obtient w,, et, si A*, recommence à varier de zéro à n, — i, on trouve successivement nt-\-a. . ., jusqu'à a/i4 — i.

Remettant A, à zéro et prenant A,= a, on a an,, et, si A't varie de nouveau, a/i| H- i, an, ■+- a, . . ., jusqu'à 3 h, — i. On remet alors A", à zéro avec A» = 3, et ainsi de suite. Quand on est arrivé à A, = //, — i avec A, = rt, — i, on a w, nt — i. On remet alors kt et At à zéro, et on prend As = i, ce qui donne ntnt. En reproduisant intégralement toute la série de variations précédente, on sera conduit sans interruption à an,n, — i. Remettant A, et A, à zéro, et prenant A3 = a on obtient a/i,/ia, puis, avec une nouvelle série de variations, on atteint "intn, — i, et ainsi de suite indéfiniment. Le dernier nombre obtenu en faisant chacune des quantités Ar,- égale à w, — i sera

Le nombre total de variations est doue

/Il /Ij /Ij . . .Ttp ,

car nous avons commencé par la puissance zéro.

Si, au contraire, on répartit le même nombres de roues

n, -f- n, -f- nt . • . + np en un seul train, nous avous vu que le nombre maximum

a38 ÉTUDE GÉOMÉTRIQUE DES MÉCANISMES.

de variations que l'on puisse ainsi réaliser sera

230. Si, en particulier, et pour plus de simplicité, on suppose que tous les arbres portent le même nombre n de roues, les raisons successives deviendront

le rapport de transmission

le nombre total de variations

et le maximum que l'on eût pu atteindre avec un train ordi-

Il suffit donc, pour qu'il y ait avantage dans l'emploi des trains multiples, c'est-à-dire pour que, à nombre égal de roues rtp, ils permettent un plus grand nombre de combinaisons, que l'on ait

condition facile à remplir. On en tire, en effet,

EMBRAYAGES. a3q

Si on prend d'abord Bai et a, et qu'on fasse disparaître l'indétermination, on trouve les Valeurs 4 ci e, de sorte qu'il suffit de prendre n = 5 ou 3. A partir de là on rencontre encore pins de facilité, car la fonction est toujours décroissante. Pour le constater, il suffit d'envisager sou logarithme

et de montrer que sa dérivée

reste négative. Son dénominateur est en effet sans influence sur le signe, et quant au numérateur, nul (') pour p = a, il reste ensuite négatif comme étant lui-même décroissant, puisque sa propre dérivée

reste essentiellement négative.

231. La solution la plus avantageuse sera évidemment celle qui, pour un nombre donné de variations

nP = a

emploiera un nombre minimum de roues

/îloga np ~ log/i '

Il faut, pour cela, poser l'équation

log/i — i

(*) 11 ne s ensuit paa on maximum, car le dénominateur est lui-même nul. En faisant disparaître l'indétermination, on trouve que la vraie valeur de cotte dérivée e»t — 7.

comme il est impossible de faire n = o ou n ■ = oo , on en

tire

n devant d'ailleurs être entier, on prendra celui des nombres 2 et 3 pour lequel le quotient est le moindre

ce qui indique des arbres de trois roues très-convenables en pratique.

Si donc on emploie comme nombre d'arbres p=-2, 3, 4> 5,...,

c'est-à-dire comme nombre de roues

on obtiendra, comme nombre de variations 3^ = 9, 27, 81, 243,...,

au lieu du maximum qu'eût donné un Irain ordinaire 2/^ = 9, 20, 36, 56,...,

en ne prenant, bien entendu, que le plus grand entier contenu dans la fraction ^ p*.

§ ni.