ML 15- TORS. IM

de construire dam tous les eus, le centre et le vayoa de couf* bure pour un point prie à volonté sur une de ces lignes.

142. Paramètre. Dans toute courbe du second degré, le paramètre est la corde qui passe par le foyer et qui est per* pendiculaire k Taxe principal 9a.

Ainsi, la droite désignée par GH, sur les Ag. 16. 17 et 18, est le paramètre de Telllpse, parabole ou hyperbole correspea* Ainte.

L'expression algébrique de cette corde est toujours

2a a Ainsi, en exprimant le paramètre par p, on aura

GH=sp^

143. On démontre par Talgèbre, que dans une courbe du second degré, le rayon de courbure AI au sommet A est toujours égal au demi-par amitre; donc en exprimant ce rayon

P 6* i de courbure par r, on aura toujours r = GF = -£- = — ^

2 a d'où résulte la proportion a : b :: b : r.

L'expression qui précède convient évidemment pour Tdlipse et pour l'hyperbole, mais dans la parabole les valeurs de

6* a et de 6 étant infinies , l'expression — , quoiqu'elle soit

exacte, ne donnerait plus une idée suffisamment nette de la valeur du rayon de courbure au sommet.

Or, on sait que dans toute parabole {fig>i^) \e paramètre GH vaut quatre fois la distance AF du sommet au foyer, donc le

iM SURFACES DE RÉVOLUTION. PL. Ig.

double d6 cette distance sera le demi-pararoètre ou le rayon de courbure au sommet  de la parabole.

Ainsi on aura r = AI = 2AF = GF = ^.

144. Normale. La normale, considérée comme exprimant une direction , est une droite infinie , menée par le point de tangence, et perpendiculairement à la tangente : mais, lorsque la normale exprime une longueur, elle n'est plus infinie et se compte depuis le point de tangence jusqu'à sa rencontre avec 2a lorsqu'il s'agit d'une courbe du second degré.

Par conséquent, sur les figures 16, 17 et 18, la normale correspondante au point M sera MK.

145. Rayon de oonrbnre. On démontre en algèbre, que le rayon de courbure en un point quelconque d'une ligne du second degré est égal au cube de la normale divisé par le carré du demi^aramétre.

Ainsi, en exprimant la normale par n, le demi-paramètre

par ^ et le rayon de courbure par R, on aura :

{7Py

Or, nous avons dit plus haut (143) que le demi-paramètre est le rayon de courbure au sommet, et puisque nous avons exprimé ce rayon par r, on aura :

pouf l'expression générale du rayon de courbure, en un point quelconque d'une ligne du second degré.

La valeur de r étant une quantité constante, il s'ensuit que dans une ligne di; second degré, le rayon de courbure est toujours proportionnel au cube de la normale, et l'on recon-

PL. 15. TORE. lil

naîtra facilement, que dans la parabole et dans l'hyperbole, ce rayon augmentera depuis r jusqu'à rinfini, à mesure que le point d'osculation s*éIoignera du sommet A de la courbe.

146. Mais il n'en sera pas de même dans Teilipse (/fg. 16) , où le rayon de courbure atteindra sa valeur maximum, lorsque le point d'osculation sera parvenu à Textrémité B du petit axe 26.

Or, dans ce cas, la normale 60 sera égale à b, et le rayon de courbure que nous nommerons W deviendra :

Mais nous avons vu (143) que

On aura donc

d'où