résulte de là, que par un point A d'une courbe
114 8urfages.de Révolution. pl. fi^.
tiouftée, on peut faire passer une infinité de cercles tangents.
Les ans sont situés entièrement du côté de la partie concave de la courbe ; mais d'autres passent entre la courbe BAD et sa tangente.
Or, il est évident que parmi tous les cercles que Ton peut ainsi oooeevoir, il doit toujours en exister un qui est plus près de la courbe que tous les autres; c'est ce qu'on appelle U utd9 oiculateur de la courbe au point A.
Sur la fig. 1 , le cercle osculateur est tracé en ligne pleine, et sa surface est teintée en points, tandis que les circonférences daa cerdes simplement tangents, sont indiquées en lignes penetttées.
le dis sinipleraent tangents, car il est évident que le cercle osculateur est plus que tangent.
En effet, concevons, fig. 4, que la courbe BAD soit rencontrée par un cercle de rayon AO. Ces deux courbes se couperont suivant deux points A et A', que Ton nomme points de tedion.
Si l'on fait tourner le cercle AO autour du point A , de manière à faire arriver le centre jusqu'au point 0\ le second point de section se rapprochera du premier, et lorsque ces deux points seront réunis en un seul, le cercle sera tangent à la courbe, et le point qui résultera du rapprochement des deux points de sections, sera un point de tanj^nee ou point de contact du premier ordre.
H est évident f|ue e^ ne suffira pas pour produire Voséulatkm entre la courbe et le cercle , qui coïncident l'un avec Tautré au point de tangence, mais qui s'éloignent aussitôt d'une manière sensible en deçà et au delà de ce point.
or, si nous supposons {fig. 3) qu'une circonférence de cetH^ie paese par trois points A', A^ A" pris très-près les uns des autres sur une courbe donnée BAD, la courbure de la courbe différera très-peu de celle du cercle, et si Ton suppose que les deux points A' et A" se rapprochent du point A, cela ne chan-
PL. 15 TORE. - ta
fera presque pas la oourbure du cercle, qui ne différera plus de celle de la courbe lorsque les trois points seront réunis en un seul.
Dans ce cas, le cercle sera oiculattur et le point qui résulte da rapprochement des trois points A', A, A" sera un point d'oscttiation ou point de contact du deuxième ordre.
133. Ainsi, le point de section A (/Igr. 2) ne contient qu'un seul point de la courbe CAB.
Le point de tangence A {fig, 4) provient du rapprochement des deux points de section A et A'.
Et le point d'osculation A {fig, 1) contient trois points de la courbe 6AD, puisqu'il résulte de la réunion du point de tangence A avec les deux points de section A' et A".
Le point de section A [fig, 2) ne détermine pas la direction de la sécante qui peut devenir successivement A$, As', As".
Tandis que le point de tangence A (/l^. 4) détermine la direction de la tangente AT parce que, par deux points, on ne peut faire passer qu'une ligne droite , même lorsque ces deux points sont infiniment rapprochés.
Quant au point d'osculation de deux courbes , il détermine, non-seulement leur tangente commune , mais encore le plan qui contient les deux courbes si elles sont planes toutes lés deux; ou, si elles sont à double courbure, l'arc de cercle tnf/niment petit détermine par les trois points in^niment rappror chés qui forment le point d'osculation.
Le plan de cet arc de cercle se nomme le plan d^oseu-lation,
134. Deux courbes (fig. 12, 13, 19) seront évidemment €>6ciilatricie8 en un point donné A, lorsque en ce point, elles auront le môme cercle osculateur *, de môme que deux courbes sont tangentes en un point, lorsque en ce point elles ont une laogeiite commune.
lie SURFACES DE RÉVOLUTION. PL. iH.
135. Quoique les trois points qui déterminent rosculation d'une courbe et d*un cercle soient infiniment rapprochés ^ ils conservent cependant la propriété de déterminer le centre et te rayon du cercle sur la circonférence duquel ils sont situés, de sorte que le rayon du cercle osculateur est en même temps le rayon de courbure de la courbe donnée au point d'oscula> tion.
1 36. Lorsque les propriétés géométriques de la courbe peuvent être exprimées par Talgèbre, on obtient exactement le centre et le rayon de courbure, pour tel point que Ton voudra de la courbe donnée. Mais, dans beaucoup d'applications, on pourra se contenter de construire avec le compas le centre et le rayon du cercle qui passerait par trois points tels que A', A et A" (fig. 3).
137. On doit remarquer cependant que, si Ton prend les trois points trop près les uns des autres, les perpendiculaires au milieu des cordes AA' et AA'' se couperont trop obliquement, tandis qu'en prenant ces mêmes points trop loin, le cercle que Ton obtiendra différera beaucoup du cercle osculateur. C'est ce qui arrivera surtout lorsque la courbure sera très-variable dans le voisinage du point d'osculation.
Dans ce cas {fig. 6), Tun des deux arcs AA' du cercle osculateur sera en dehors, tandis que l'autre arc AA" sera en dedans de la courbe donnée BAD; et Ton conçoit que cette relation doit encore se conserver lorsque les trois points sont infiniment rapprochés.
138. En général, on peut dire que le cercle osculateur coupe toujours la courbe ^ ainsi , par exemple, il est évident que les trois points A', A et A" de la figure 6 seront toujours trois points de section, même lorsqu'ils seraient infiniment rapprochés , tandis que le point d'osculation du cercle AO et de la courbe BAD (fig, 1 ) provient de la réunion du point de tan-
gence A avec les deux points de section A' et A"; et Ton conçoit que, dans ce dernier cas, les deux parties A'A et A A" deJa courbe seront en dedans du cercle osculateur, même lorsque les trois points A\ A et A'' seront infiniment rapprochés.
Ainsi , lorsque la courbure sera symétrique en deçà et au delà du point d'osculation , on pourra considérer ce dernier point {fg. \) comme provenant de la réunion du point de tangence A avec les deux points de section A' et A" ; tandis que, si la courbure en deçà du point d'osculation, diffère de la courbure au delà {fg, 6), le point d'osculation sera produit par le rapprochement des trois points de section A', A et A".
139. Toutes les courbes qui , en un point donné A {^g. 12, 13, 19), ont le même cercle osculateur, seront osculatrices les unes des autres ; car il est évident qu'au point d'osculation elles auront toutes la même courbure, qui sera exprimée par le rayon du cercle osculateur commun.
H' existera donc une infinité de courbes osculatrices en un point d'une courbe donnée, et l'on pourra toujours choisir dans l'application, celle de ces courbes qui satisfait aux conditions les plus simples. Or, le cercle étant la plus simple de toutes les courbes, c'est ordinairement celle que l'on emploie de préférence.
140. Cependant , le cercle osculateur n'est pas toujours la courbe qui s'approche le plus d'une autre courbe donnée ; en effet , si la courbure de Tare A A' {pg, 12) diffère sensiblement de la courbure de AA" ; on conçoit qu'une ellipse dont la courbure varierait suivant la même loi dans le voisinage du point A, serait plus près de la courbe que le cercle osculateur. On concevra encore facilement que dans certains csls (fig. 13) ou la courbure diminuerait très«-rapidement à partir du point A, un arc de parabole a ou d'hyperbole c satisferait encore mieux à la condition de coïncidence.
Il» 8URFA.CES OB RÉVOLUTION. PL. iS^
liais d'abord , la construction de Tune quelconque de ces courbes serait moins simple que celle du cercle \ ensuite , m Ton voulait obtenir le rayon de courbure , il faudrait toujours recourir au cercle osculateur de la courbe par laquelle on aurait remplacé la courbe donnée : et comme le cercle osculateur est ie même pour toutes les courbes osculatrices au point A, il est évident que l'emploi de ces courbes deviendrait sans objet.
Si pourtant (flg. 13) la courbe donnée était symétrique dans le voisinage du point d'osculation, par rapport à la normale qui contient ce point, il pourrait être utile d'employer, comme courbe osculatrice , l'une des nombreuses ellipses paraboles ou hyperboles qui auraient au point A le même rayon de courbure (139).
141. courbure des ll^pnea du second de|rr^- — Paramètre. Nous avons dit que le centre, et le rayon de courbure en un point d'une courbe donnée , dépendent des propriétés géométriques de cette courbe, et, lorsque ces propriétés sont connues, on peut obtenir par le calcul le centre et le rayon du cercle osculateur, mais la nature de l'ouvrage actuel et le but auquel il est destiné, ne permettent pas que nous donnions à cette question tous les développements dont elle est susceptible.
Il suffit presque toujours, çn effet, dans la plupart des applications graphiques , de considt^rer comme cercle osculateur (fig, 3) celui qui passe par trois points peu éloignés, et si VoQ croyait utile d'obtenir une plus grande exactitude, on trouverait dans les traités d'algèbre appliquée , l'expression des rayons de courbure des lignes définies géométriqueoiQQl.
Mais les courbes du second degré offrent dans les applications un intérêt tellement exceptionnel, que je crois être utâle à quelques lecteurs, en énonçant les formules qui permettent
