Pour la parabole et pour l'hyperbole on aura

149. Gonstractlon du rayon de oonrbure «a iuk point queloon^e d'une oonrbe dn second û.t^pté. L'expression

algébrique de ce rayon en un point quelconque étant — ^ ,

on aura R = —r = — X — .

Or, SI nous exprimons pour un moment — par x , nous *

aurons :

n nx r r

ce qui revient à la construction des deux formules suivantos :

n* nx

D'après cela (fiiométriê élémenlatr^, 4* livre), oo fera, fig. 16:

1"" «MB MD égal au demi^paramètre GF ;

2' i i» MN égal à la normale MK;

3* wmm Oa tracera ON ;

4* •■■V On construira NT perpendiculaire «ur DN ;

g"" mmm La droite TC» perpendiculaire sur NTf coupera la normale NC en un point G qui sera le centre du cercle oscaUteur au point M.

PL. IS. TORS. It3

Cn ?ff#t, lesd^u;^ triangles DMN, NMT, étant sen)blaMts, on aura la proportion :

DM : MN :: MN : HT, d'où (143) r : n :: n : MT,

et par conséquent iMT = — = x*

Mais, la similitude des triangles DMN, TMC, donnent

DiM : MN :: MT : MC,

d'où r : n :\ X { MC,

nx n f(? n^

et, par suite, MC = = — X =— -=:R.(145)

Ainsi le centre G et le rayon de courbure CM seront déterminés.

1^0, U construction qui précède convient, sans aucune modification, ^ toutei le$ courbes du second degr^ ; c'est pourquoi les mémea lettres ont été en^ployées sur les fig. 16, 17 et 13«

151. Si l'on voulait faire cette opération au sommet À de la courbe, il faudrait %^ rappeler que pour ce point la nornoiale AI est égale au demi-paramètre GH, et, dans ce cas, on aurait DM = MN 9 le triangle rectangle DMN deviendrait alors isocèle, et la construction serait inutile, puisque Ton sait qu'au sommet le rayon de courbure r est égal au demipgraogu^tre.

Il suffit donc, pour ce point, de faire A) ?;^GF.

in SURFACES DE RÉVOLUTION. PL. ifif.

152. L'opération du n* 149 étant appliquée au point B de l'ellipse, fig. 16, déterminerait le plus grand rayon de courbure SB; mais on peut obtenir cette ligne d'une manière plus simple, en traçant :

1"* ÊÊÊÊÊm La droite BF qui joint le point B avec le foyer; 2® MÊÊÊÊÊm La droite FS perpendiculaire surBF.

On obtiendra, par ce moyen, le centre S et le rayon r' = SB du cercle osculateur au point 6.

En effet, le triangle BFS étant rectangle en F, on aura la proportion :