SCOTIE. m
point lumineux, ce qui donnera pour chacune , deux positions différentes $Ai et 5-12.
12* ■■M On déterminera bien exactement les nouvelles projections horizontales des points 11, 11, 12 et 12, puis des perpendiculaires à la ligne ÂZ détermineront les projections verticales de ces points sur les horizontales tracées par leurs projections 11' et 12'.
13*^ MMB Les droites «'-1 1 et5'-12seront alors tangeK^tes à la projection verticale de la ligne de séparation.
222. Ainsi , parmi les tangentes que Ton peut mener à cette courbe, on devra distinguer, sur la projection horizontale, six tangentes passant par le point s , savoir :
1" ■■M Les deux droites 50, 50 tangentes ayx points o, o du cercle de gorge.
¥ MMB Les quatre droites 5-11, 5-11, 5-12 et 5-12 tangentes aux points 11 et 12 à la projection horizontale nozo de la courbe de séparation.
Et sur la projection verticale on aura :
l"" mÊÊÊm La droite 5'fi' tangente à la méridienne.
2^ HMi 5'-ll tangente au point 11.
3* HiM 5'-12 tangente au point 12.
A^ ■■M 5'z' tangente au point js' du méridien.
S"" MiBB La droite ft'j/' tangente au point o' de la courbe n'az'.
Les quatre premières lignes sont des rayons lumineux, la dernière n'est pas un rayon de lumière.
La trace du cône formé par les rayons lumineux qui s'appuient sur la courbe de séparation , aurait quatre points de rebroussement.
Ces points analogues à ceux que Ton obtient lorsque les rayons de lumière sont parallèles, seraient déterminés par la rencontre des quatre rayons tangents 5-11, 5-11, 5-12, 5-12 avec le plan de projection.
iU SURFACES DE RÉVOLUTION. PL. 19-
Piédouche.
3S3« Le^ différentes parties qui oomposent cette surface , sont en commençant par en bas (fig. 01, pi. 19) :
l"" Le dé ou parallélipipède rectangle;
S"" Le tore;
3' Le filet;
4® La scotie ;
5"" Le quart de rond;
6* Un second filet.
Toutes ces moulures, excepté le dé, sont des surfaces de révolution engendrées par l'ensemble des lignes qui forment le profil ou section méridienne.
Tore,
224. Cette moulure est évidemment la partie convexe d'une surface annulaire qui ne diffère que par ses dimensions de celle que nous avons étudiée sur la planche 13.
La courbe formant la séparation entre la partie obscure et celle qui est éclairée se construira comme nous l'avons dit alors. On pourra aussi , comme exercice , employer les principes des plans coupants.
Dans ce cas , après avoir établi sur les deux projections un certain nombre de sections horizontales de la surface, on concevra (fig. 92) des plans tels que pg, pY verticaux et parallèles à la direction de la lumière, on construira (fig. 91) les courbes P9, p"q'\ suivant lesquelles ces plans coupent la surface du tore, et les points m, m, suivant lesquels ces courbes seront touchées par les rayons lumineux, appartiendront à la ligne de séparation demandée.
2S5. Ombre partie sur le tore. Le plan vertical p/q*
PL 19. pïÉboiicHE. m
(fig. 92), eotipant la surface du tore suivant la courbe p"q" {fg, 91), là partie 1-2' de cette courbe sera l'ombre portée i^ur le tore par la petite verticale 1-2, suivant laquelle la surfoce cylindrique du filet est touchée par lé plan pY; la courbe 1-2 étant plane et verticale, sa projection horizontale sera une ligne droite 1-2'.
Une seconde courbe l"-2'', égale et symétrique par rapport à l'-2', proviendra de l'ombre portée sur le tore par la droite suivant laquelle le filet serait touché par le plan vertical p'"q"' (/Ig. 92).
La courbe 2'-3'-4'-5' est à double courbure et provient de l'intersection de la surface du tore par les rayons lumineux qui s'appuient sur une partie 3-5 du cercle horizontal formant l'arête supérieure du filet.
On pourra construire cette courbe par le moyen des plans coupants.
Ainsi, l'intersection de la courbe p"q" (fig, 91), par le rayon de lumière 2-2', déterminera 2' pour Tombre du point 2 ; on obtiendra de cette manière autant de points que l'on voudra de la courbe 2'-3'.
Si on veut avoir beaucoup d'exactitude , il faudra mener les plans coupants très-rapprochés les uns des autres.
En avançant vers le point 3', il y aura un moment où les rayons de lumière ne rencontreront plus les sections correspondantes et passeront au-dessus du tore sans le toucher.
226. Le point extrême 3' sera connu lorsque le rayon lumineux deviendra tangent à la section correspondante ; on pourra déterminer ne point en construisant un lieu géométrique , passant par les milieux des parties de rayon de lumières comprises dans les courbes de section.
Pour étudier complètement tous ces détails, le lecteur fera bien d'exécuter l'épure sur une plus grande échelle.
La partie de courbe 3'-4'-5' contient les points suivant les-
quels la surface du tore serait percée une seconde fois par les rayons lumineux, en les supposant prolongés à travers la masse du solide. 11 est évident que dans la pratique on peut se dispenser de construire cette partie de courbe , qui n'a été tracée ici que pour mieux faire comprendre le résultat.
La courbe 2'-3'-4 -5' ne pourra avoir aucun de ses points au delà du plan pV tangent au filet, c'est pourquoi elle touche la section du tore par ce plan {fig 91 ).
Si cela est nécessaire pour déterminer quelques points avec plus d'exactitude, on fera des sections perpendiculaires au plan vertical de projection.
227. Enfin, on pourra employer le principe du n* 119. Ainsi :
La courbe cherchée, devant résulter de la pénétration du tore par le cylindre formé par les rayons lumineux qui. s'appuient sur le cercle horizontal &d, on coupera ces deux surfaces par une suite de plans horizontaux. Les sections produites dans le tore seront des cercles dont les centres situés sur l'axe de la surface se projetteront en un seul point 5'. Les sections du cylindre seront aussi des cercles égaux et parallèles au cercle horizontal 6d, et dont les centres situés sur la droite 0^^ auront leurs projections horizontales sur s'-o".
Les intersections deux à deux de ces différents cercles donneront tous les points de la courbe cherchée {Géométrie descriptive).
Ainsi, par exemple, pour déterminer le point 5', on abaissera la perpendiculaire cfcl\ et du point 0" comme centre avec un rayon o"6", égal à ob (fig. 91 ) , on décrira Tare 6"5', dont l'intersection avec le cercle 6-1-x déterminera 5'.
En eiïei(fig. 91), le plan horizontal gy, employé ici comme plan coupant auxiliaire, touche le tore en dessous, suivant le cercle b'-i-x^ et coupe le cylindre formé par les rayons
PL. 19. PIÉDOUCHE. i77
lumineux qui s'appuient sur le cercle horizontal bd, suivant un second cercle &"5' égal et parallèle au premier. Les points 5', 5", résultant de l'intersection de ces deux cercles appartiennent donc aux deux surfaces qui les contiennent.
228. On peut par ce moyen obtenir un point de la courbe à la hauteur que Fon voudra. Ainsi , par exemple , le point qui serait situé sur la plus grande section du tore, ou sur tout autre cercle horizontal.
Il est évident que la construction précédente pourra être employée (/îj. 93) toutes les fois qu'il s'agira d'obtenir l'ombre portée sur une surface de révolution par un cercle dont le plan serait perpendiculaire à l'axe de cette surface, quelle que soit du reste la position occupée par le centre de ce même cercle.
Ainsi , le rayon Q(i percera le plan horizontal de projection en un point o', qui sera le centre d'un cercle de rayon oV, égal et parallèle au cercle de rayon ov. Le premier de ces deux cercles sera l'ombre portée par le second, sur le plan horizontal de projection , et les deux points 1 ,1 , suivant lesquels les deux cercles oV et %x se rencontrent seront les ombres portées sur le cercle %x par deux points du cercle borizontal ov.
Le point o" sera le centre d'un second cercle dont les intersections avec la circonférence tnn, détermineront les points 2)S pour les ombres portées sur le cercle tnn, par deux points du cercle horizontal ov (119).
La courbe l"-4"-5" (/îff. 92) se déduira -de l'U'-S', en abaissant des perpendiculaires sur le plan de symétrie /'-«'.
Ainsi , en résumant , les courbes à déterminer sur le tore sont(/lgf. 92):
1® La grande courbe v!ntln'wl\ formant la ligne de séparation ;
2" Les deux petites courbes 4 '-2', i'-2", provenant de
rintersection du tore par les deux: plans tangents au filet ^ S*» Les deux courbes 2'-4'-5', 2''-4"-5", intersections du tore par les rayons lunoineux qui s'appuient sur le cercle horizontal du filet.
FilH.
