PL. 17. SCOTIE

Les points 4 et 5^ à la partie de cette courbe formant Kgne de séparation.

Le point 3, à la courbe d*ombre portée par le cercle i-y.

Le point 7, à la courbe d'ombre portée par la ligne de séparation.

Toutes les opérations doivent être faites avec beaucoup de soin, parce que les courbes de section n^étant pas susceptibles d'une définition géométrique rigoureuse, on ne peut déterminer qu'approximativement les points ou elles sont toudiées par les rayons lumineux.

210 Au surplus, pour les surfaces de révolution, on pourra toujours construire la ligne de contact par la méthode du nM14.

Dans ce cas, la détermination de chaque point dépend de la construction d'une tangente à la section méridienne , dont la courbure souvent élégante, et presque toujours définie, permet de déterminer le point de tangence avec exactitude.

En effet, dans l'exemple précédent, la section méridienne étant une courbe à plusieurs centres {fig. 85), toute tangente en un point de l'arc cv sera perpendiculaire au rayon om de cet arc \ une tangente ïk sera perpendiculaire sur zi; enfin , la tangente gi doit être perpendiculaire sur xg.

Si la courbure de la section méridienne n'était pas définie , on construirait (/iy. 90) un certain nombre de cordes parallèles à la tangente, et la courbe, passant par le milieu de ces cordes, se dirigerait vers le point de tangence, et le déterminerait avec une exactitude suffisante.

211. Tanfirentes à li^ne de séparation. On peut se proposer, comme étude, de construire une tangente en un point déterminé de la ligne de séparation sur la scotie.

m SURFACES DE RÉVOLUTION. PL. i^.

Bttpposons, par exemplis (fig. 1 et 2, pi. 18), qu'après ajroir obtenu le point uv! par l'une des méthodes indiquées ëans la Géométrie êestriptive , on veut , avant de tracer la courbe» construire la tangente en ce point , on appliquera le principe du n"* 192.

AinsU OQ construira :

!• ^^^^^^ L'hyperbololde de révolution osculateur (186).

2* MrtMM Le plan tangent au point tiu' ;

3* «a^M La section de l'hyperboloîde par un plan parallèle au plan tangent.

4® «MB Le diamètre parallèle au rayon lumineux.

5^ «■■■ Le conjugué du diamètre précédent déterminera la direction de la tangente demandée qu'il sera facile de construire par le point uu'^ puisque l'on connaîtra sa direction.

On fera bien, comme au n* 193, de faire tourner le point uu' jusqu'à ce qu'il soit parvenu dans le méridien principal ; puis de le faire revenir à sa place lorsque la direction de la tangente sera déterminée.

Je n*ai pas exécuté les opérations qui précèdent, parce que cela n'aurait été que la répétition de ce qui a été fait sur les figures 14 et 15 de la planche 15; je ferai seulement remarquer^ que dans l'exemple actuel , la section méridienne do la suriace donnée est une ligne dont la courbure varie pour chacun de ses points , de sorte que le rayon de courbure du méridien au point ii, sera la normale passant par té point rabattu en u" sur le méridien principal , et se Comptera sur cette normale, depuis u" jusqu'au point où elle touche la développée 6-1' de la section méridienne bu"d.

212. 11 sera plus facile de construire la tangente au point oo' suivant lequel la ligne de séparation coupe le cercle de gorge 3-o" de la surface donnée-, en effet :

Pt. 18> SCOTIE. «3

Pour ce point o6\ te rayon de coilrbafeii"^ mt» égal à la ïiormale 3-3' comprise enire le point 3 du méridien 6ii['d et le point 3' suivant lequel la normale correspondante touche la développée 6-1'.

On sait de plus (184) qu'au point o", et par conséquent en o\ le second rayon de courbure sera égal au Vayon oV du cercle de gorge ; de sorte qu'en décrivant sur oV comme diamètre, la circonférence o^vct>y la droite o% moyenne proportionnelle entre oV et o"c, sera Taxe non .transverse ou imaginaire de l'hyperbole qui aurait pour cercle osculateur, la circonférence décrite du point <c comme centre, avec le rayon co" (162), de sorte que Thyperbole Ho"H et la méridienne frVd', ayant au point o" le même cercle osculateur , auront en ce point les mêmes rayons de courbure principaux, et les deux surfaces de révolution que l'on obtient en faisant tourner ces deux courbes autour de Taxe commun , seront osculatrices l'une de l'autre pour tous les points du cercle de gorge^S-o".

Or, le plan tangent qui , au point o^ contient le rayon lumineux et la tangente demandée, étant parallèle au plan vertical de projection, l'hyperbole que nous venons d*obtenir sera la section de Thyperboloîde osculateur par le plan vertical $1 parallèle au plan tangent en od-^ de sorte qu'il ne reste plus qu'à construire :

1® mmm Le diamètre o'h parallèle au rayon lumineux sT.

2"* ^mmt La corde Jky partagée au point h en deux parties égales, sera parallèle au diamètre iScV conjugué de o'A et parallèle par conséquent à la tangente demandée (189) .

Or, le centre de l'hyperboloîde osculateur, et le point de tangence qo\ ayimt une projection verticale commune, il s'ensait que le diamètre Uyl que nous venons de construire et la taDgente au point oo^ de la ligne de séparation , auront la m^nie projection verticale.

ÎM SURFACES DE RÉVOLUTION. PL. ig.

213. luiyons liiiiiln«iiz tmngmtkU à la ligne de •épa-' Mtloii. Pour déterminer les quitre points 11 , 11 , 12 et 12 suivant lesquels le rayon lumineux devient tangent à la ligne de séparation , on pourra opérer comme nous l'avons dit au n* 195.

Cependant, si Ton suppose que les différents points de la courbe 1-0-7, ont été ramenés sur la section méridienne bu"d^ on devra remarquer que les divers hyperbolotdes osculateurs aux points 1, 2, 3, 4, 5 et 6 n'ont plus comme au n^ 199 le même cercle de gorge ; de sorte que les sections faites dans ces hyperboloîdes , parMlèlement aux plans tangents, passeront par les centres de courbures l'2'3'4'â'6' des cercles osculateurs correspondants , au lieu de passer, comme on le voit sur la figure 14 de la planche 15*, par le centre du cercle générateur de la surface annulaire.

A cela près , les opérations seront absolument les mêmes ,

ainsi :

1* MMB Les deux rayons principaux de courbure ai^ point 6

de la section méridienne M% étant 6-6' et 6-8 (184),

on ramènera le point 6 en 9^ et le point 8 en lO', par

les deux arcs de cercle 6-9' et 8-10" décrits du point 6'

comme centre;

^ MMB l^s droites 9'-9 et lO'-IO perpendiculaires à la ligne ÂZ, détermineront sur la figure 2, la droite 6-9 égale à 6'-6 de la figure 1 '% et 9-1 égale à 6*8 ;

'3* aiBM On décrira la demi-circonférence iO-m-6', et la droite 9-m, moyenne proportionnelle entre 6'-9et9-10 ile la figure 2 , et par conséquent entre 6'-6 et 6-8 de la 'figure 1 , sera Taxe non transverse ou imaginaire de l'hyperboloide osculateur au point 6 de la sur&ce donnée.

4* MiBiB Le diamètre mW, perpendiculaire sur le rayon 6'-6, sera la projection verticale de la section hyperbolique parallèle au plan qui toucherait la surface , et son hyperboloïde osculateur au point 6.

PL. 18- SCSÛTlfi. ifiG^

£^ mmm Od ramènera 9 -m en 9"-m'' sur la perpendiculaire m'in!\, et la droite 6'-m" (/Ig. 2) sera Tune des asymptotes de la section hyperbolique mW provenant de la section de l'hyperboloïde oscuiateur par le plan ntlm\ parallèle au plan tangent du point 6.

. 6^ mmm Cette droite 6 W sera doncl a direction que devrait prendre le rayon lumineux, pour qu'au point 6 de la surface, il soit tangent à la ligne de séparatian correspondante (197).

7"* mmmm La môme opération étant répétée pour les points 5, 4, 3, 2 et 1 de la courbe bu"d^ on déterminera pour chacun de ces points, la àirtctiim du rayaa lumineux qui serait tangent à la ligne de séparation porrespondante.

^^ «Hiv Les asymptotes obtenues par les opérations précédentes, ne passant pas par un même point, forment une surface réglée -, mais si par un point quelconque $s^ gris où Von voudra dans V espace^ on construit une parallèle à chacune des asymptotes obtenues ^ on obtiendra comme au n* 199 une surface conique qui contiendra toutes les directions des rayons lumineux qui, en chacun des points de la méridienne Wd, serait tangent à la ligne de séparation correspondante*

11 ne reste donc plus qu'à choisir parmi toutes ces directions , celle qui sera parallèle à la lumière donnée. 9* ■■■i Pour y parvenir, on construira le rayoa lumineux «{, sT.

iC aiHHi On fera tourner cette droite autour de la verticale du point ss', et Ton obtiendra par ce moyen , un cône circulaire dont on construira la trace horizontale Iq, iV "iBiB On construira également la trace horizontale l"-3"-6"' du cône qui contient les droites menées par le point ss' parallèlement aux asymptotes obtenues pré<* cédemment.

ip «Hi 1^ point 3''' de la coarbe l'^-S"^'" s'obtiendra en construisant la trace 3^ de la dcoite «'S'^ parallèle à l'asymptote oY qui, ramenée dans le plan méridien o'-<3'", serait une asymptote de la section produite dans Thyperbololde osculateur , par le plan du méridien o'-3'" parallèle au plan qui touche la surface don-, née au point 3.

iZ* ■■» Les points NN', RR' suivant lesquels la trace Iq du premier cône rencontre la trace 4 '"-3"'- 6'" du second, détermineront les deux droites «N, «'N'; «R, s'R^ suivant lesquelles se coupent les deux cdnes.

i4* HBH Les droites sN, a'N'; «R, s'h!j intersections des deux cônes, seront les directions de deux rayons lumineux nV, r^r^ qui seraient inclinés sur le plan horizontal comme le rayon do lumière donné, et qui aux points H^ et là' de la section méridienne iu"3, seraient tangents chacun à la ligne de séparation correspondante.

i5* HMB Les projections horizontales oV et /r^ de oesdeux rayons seront parallèles aux projections sN, sH. des deux droites suivant lesquelles se cou|[>ent les deux cônes.

i6* mÊÊm 11 ne restera plus qu'à faire tourner les deux droites nV et r^r' autour de Taxe jusqu'à ce qu'elles soient venues se placer en nn et rr parallèlement à la projection horizontale du rayon lumineux sL

17* HBH Par suite de ce mouvement , le point / vient se placer en e, et l'on obtient le point de tangence 12 en faisant «-12 égale à e'-\9!\ le point x* étant ramené en x^ on obtiendra le point de tangence 1 1 ' en faisant x-H égale à^'-ll'.

18* «iMi Les quatre points 11 , 11 , 12, 12 étant déterminés en. projection horizontale, il sera facile de construire leurs projections verticales, et par suite les tangentes 14 et 15 parallèles à la projection verticale $'l' du rayon lumineux.

PL. la- SOOTIS. 1«

2)4. AÎQsi, parmi toutfj^ iestangeotes quQ Ton peot déterminer avant de tracer li| projection verticale i-o' 7 de la ligne de séparation , on remarquera :

I "" mmm La tangente 1 3 , parallèle au rayon lumineux et qui touche la section méridienne au point le plus élevé de la ligne de réparation.

2* «PHP La tangente 14, parallèle aurayon lumineux et

qui touche la ligne de séparation au point 11 . 3* mmm |^ droite fc'yS tangente à la ligne de séparation

ou point ocl, 4f* ^^ La dr^^ite 15 , tangente au point 13 de la li^ie de

séparation, et parallèle au rayon lumineux.

$* «iiHi Enfin la droite 16, parallèle au rayoq lumineui^, tottcl^e la section méridienne au point 7 qui est le plus bas de la ligne de séparation.

Sur la projection horizontale, on remarquera six tangentes parallèles à la projection horizontale des rayons lumineux.

Quatre de ces droites touchent la ligne de séparation aux points 11, 11, 12 et 12, et les deux autres 17-17 sont tan-^ geotes aux points o situés sur le cercle de gorge.

21 S. Point lurnSnoiiz. Pour ne plus avoir à revenir sur ce genre de questions , qui malgré l'intérêt qu'elles préseotept sous le rapport de la théorie, nous éloigneraient trop du but pratique que je me suis proposé dans cet ouvrage » je vais indiquer le moyen de construire des tangentes % la ligpe.de séparation, lorsque la liiqf^ièr^ provient d'un point lumineu}|:» au lieu d'être produite par le soleil, comme nous l'avons supposé dans tous le$ eiLemples qui précèdent*

216. Soit d'abord {fig. 3) un ellipsoide éclairé par un point lumineux S, on sait que la ligne de séparation sera une ellipse C.

i9» , SURFACES DE RÉVOLUTION. PL. 18.

Mais, si nous supposons que le point lumineux S soit reculé jusqu'à TinlBni , dans la direction de la droite SV, le c6ne formé par les rayons lumineux qui enveloppent la surface, se transforme en un <^lindre, et la ligne de séparation est encore une ellipse B.

Or, ces deux ellipses ont évidemment un point commun m, suivant lequel la surface donnéeg^st touchée par la génératrice VU qui appartient en même temps au cône et au cylindre.

De plus, ces deux courbes ne peuvent pas se couper, car si elles avaient un second point commun n, les plans qui, en chacun des points m et n, toucheraient la surface donnée , seraient tangents totis les deux au cône et au cylindre enveloppant; ce qui est impossible, puisque ces deux dernières surfaces n'ayant qu'une génératrice commune, ne peuvent avoir qu'un seul plan tangent : d'où il résulte que les courbes Bet G sont nécessairement tangentes l'une li l'autre.

Puisque les deux ellipses se touchent au point m, il est évident qu'elles ont, en ce point, une -tangente commune mT, de sorte que pour construire la tangente en un point quelconque de la ligne de séparation G suivant laquelle Tellipsorde donné est touché par le cône des rayons lumineux issus du point S, il suffira de chercher la tangente à la ligne de séparation que Ton obtiendrait si la lumière provenait d'un point situé à l'infini dans h direction de la droite mS et te question est alors ramenée au théorème du n*" 189.

217. Ainsi, (flg, 4) pour construire une tangente en an point de la ligne de séparation suivant laquelle l'ellipsoïde est touché par le cône des rayons lumineux issus du point S , on construira :

1^ «M Le plan P tangent au point m de l'ellipsoïde;

2"* MHB La section elliptique zcxu par un plan parallèle au plan tangent P.

3* aiiiiM Le diamètre JCâ? parallèle au rayon lumineux $fn.

-PX. 18. SCOTEE. m

*• ""^ Le conjugué eu de zx stra parallèle h la tangente demandée mT, qu'il sera facile alors de construire par le point donné m, puisque Ton connaîtra sa dt» rection eu.

218. Tout ce que nous venons de dire pour Tellipsoïde , s'applique à l'hyperboloîde etl on emploiera celle de ces surfaces qui conviendra le mieux dans chaque cas.

2i9. Tanjgrente à la Ugne de séparation. Si par exemple (fig. 5) on voulait construire une tangente au point uu^ de la courbe suivant laquelle la scotie est touchée par le cône des rayons lumineux issus du point ss'.

Le point uu' étant déterminé par Tune des méthodes indiquées dans la Géométrie descriptive^ ou construira (190) : l^ aiiiiM Le plan tangent au point W de la surface donnée ; 2"* ■■M L'hyperboloîde oseulateur au même point (186). 3** ■■M La section hyperbolique parallèle au plan tangent (189).

A^ ■■■i Le diamètre parallèle au rayon lumineux qui contient le point donné.

S* MiBB Le conjugué du diamètre précédent sera parallèle à la tangente demandée qu'il sera facile de construire, puisque Ton connaît le point de tangence et la direction de la tangente.

Je n'ai pas indiqué ces détails d'épuré, qui seraient la répétition de ce que nous avons dit au n® 191 .

220. L'opération sera ^lus simple si Ton ve«t déterminer la tangente au point ao' suivant lequel la ligne- de séparation coupe le cercle de gorge. En effet, pour ce point, consme nouft

l'avons fût au numéro 2t£, on pourra prendre posr hyperbolpîde osculateur, la surface de révolution engendrée autour de l'axe par Thyperbole qui aurait pour axe réel le rayon Oo" du cercle de gocge, 3-o", et pour axe non transverse ou imaginaire, la moyenne proportionnelle o"t? entre Oo" et o^^c qui est le rayon de courbure au point o' du méridien.

On n'a pas besoin de construire cette hypephoie Ho"il qui n'est ici que pour rappeler le principe ; les asymptotes OB, OB suffiront.

1* WÊmm Ces deux lignes étant obtenues, on considérera l'hyperbole Ho"H et ses asymptotes comme la section de l'byperboloïde osculateur par le plan méridien «P. 2* WÊmm On fera tourner le plan tangent Pi autour de Taxe , jusqu'à ce qu'il soit venu se placer dans la position P, parallèle au plan coupant P.

3* MiBB La droite «"'0 sera la nouvelle projection verticale

du rayon de lumière qui contient le point oo\ 4" WÊmm Le plan tangent P^ étant rabattu en P, , la droite 0«'" sera la projection de Tun des diamètres de Thyperbole Ho''H , qui est la section de Thyperboloîde oscillateur par le plan P parallèle au plan tangent P,. 5* ^wm La corde ky^ partagée au point h en deux parties égales, sera parallèle au conjugué I/V du diamètre 0«'" et le diamètre t'y sera projeté sur la figure 6 en Vj/" . 6* wmmà Cette dernière ligne, ramenée en fcy, sera la projection horizontale de la tangente demandée A'y', qu'il sera facile de construire en faisant tourner le point H" de la trace horizontale du plan P, jusqu'à ce qu'il soit venu se placer sur la trace du plan tangent P^

221. BayoïM de Inmlèra tan^mli à la coarte d» iparatloii. il existe ici comme dans le cas où la lumière est

PL. 18- - SGOTIE. 171

située à rinfini, quatre points suivant lesquels le rayon lumineux est tangent à la courbe de séparation.

Pour déterminer ces points on pourra opérer de la manière suivante : «

V "iBiB On choisira sur la courbe o*3-7 un certain nombre de points suffisamment rapprochés.

91^ mmmm Par chacun de ces points , on construira la normale et l'on déterminera le centre de courbure avec le plus d'exactitude possible.

Si la méridienne est une courbe à plusiei2|rs centres, ces points seront évidemment connus puisqu'ils auront servi à construire la courbe.

3*" «M Pour chaque point de la courbe 0-3-7, on déterminera l'hyperboloîde osculateur (186) et Tune des asymptotes de la section hyperbolique produite dans cette surface par un plan parallèle au plan tangent correspondant (197).

Pour éviter la confusion, on n'a pas conservé toute cette partie de Tépure qui n'est que la répétition de ce que Ton a fait sur les figures 1 et 2.

4* WÊÊim Par chaque point de la courbe 0-3-7 on construira une droite parallèle à l'asymptote de la section faite dans rhyperboloîde osculateur correspondant par le plan perpendiculaire au rayon de courbure \ les projections, verticiles 1", 2", 3", etc.. de ces droites , seront tangentes à la courbe 0-3-7.

S* MHS Les droites que nous venons d'obtenir seront pa^ rallèles aux rayons lumineux qui , pour chaque point de la courbe 0-3-7 seraient tangentes à la ligne de séparation correspondante (197).

&" «i Les droites i'', 2", 3^^, forment dans l'espace une surface réglée dont toutes les génératrices sont tangentes à la scotie en un point de la section méridienne o^-7; le rayon demandé sera donc Tune des génératrices de cette

I7i SURFACES DE RÉVOLUTION. PL. 18

surface , de sorte qu'il ne restera plus qu'à choisir parmi toutes ces droites celle qui passerait par le point lumineux donné.

7* WÊÊim Pour résoudre cette partie de la question , supposons que le rayon de lumière cherché tourne autour de l'axe de la surface donnée, il engendrera un hyperboloîde de révolution dont toutes génératrices seront également tangentes en un point de la courbe o*3-7.

8* WÊÊÊm On coupera les deux surfaces par un plan horizontal P, contenant le point lumineux donné $s\ et Ton obtiendra pour section la courbe 1'"-3'"-6"' située dans la première surface, et la circonférence jNRs" située sur rhyperbolofde engendrée par le mouvement du rayon cherché autour de l'axe.

9* ■■M'Les points N et R suivant lesquels se coupent les deux courbes l'"«3"'-6'" et sNRs" étant projetés sur le plan vertical en N' et R', on construira les deux droites N'-li' et R-12' tangentes à la section méridienne.

Ces lignes, intersections des deux surfaces réglées, jouiront de la propriété conimune à toutes les droites situées dans la première surface d'être parallèles aux rayons lumineux qui en un point de la courbe 0-3-7 serait tangent à la ligne de séparation correspondante.

Il ne reste donc plus qu'à faire tourner les4roites que nous venons d'obtenir jusqu'à ce qu'elles contiennent le point de lumière donné 5s'.

Pour y parvenir :

10^ wmm On projettera les points de tangence 1 1' et 12' sur

la trace du méridien principal.

On obtiendra ainsi les projections horizontales des

deux lignes N-11' et R-1 S'.

1 1 ** maam On fera tourner ces droites autour de Taxe, jusqu'à

ce qu'elles contiennent la projection horizontale % du