CC C'B
sin B sin 6 *
et, en remplaçant les sinus des arcs infiniment petits par ces arcs eux-mêmes et négligeant les infiniment petits de second ordre, il vient
tanp'rrfr tang ; rfi sin 6 1
— tang zdz = -—.
sin 0
En intégrant les deux membres de cette équation nous obtenons
log cos z = log tang - -j- C",
expression qui peut se mettre sous la forme
e „ lang -^ = K rosz,
dans laquelle la constante K détermine chaque courbe particulière.
Cherchons en quel point cette courbe coupe l'équateur EE'. Pour cela remarquons que la distance d'un point quelconque A de la courbe au méridien central est exprimée par
tang z tang |
n tang z sin 8 = 2* — = 2K— — — ,
,+Uog.î , + K * c ° s ' =
;i l'Equateur, c'est-à-dire pour z = 90°, cette distance est égale à 2Ka : la constante K représente donc la moitié de la longitude du méridien considéré, de telle sorte que l'équateur sera développé en véritable grandeur et divisé en parties égales comme le méridien central.
Il en résulte la construction suivante pour tracer par points un méridien d'une longitude donnée t = 2K.
Soit P le pôle, M un point du méridien central àlalatitude l =90*— c, AMA, l'arc qui représente son parallèle. Traçons la tangente «Mn, perpendiculaire à PM en M. Pour déterminer le point A dont la longitude t est donnée, soit / = 32°, portons sur la tangente Mn de cha-
r.HAP. XIII. — PROJETIONS POLVCOMQI FS. 71.'»%
que côté de M deux longueurs \\n = Mn, égales à la moitié de la vraie longueur de l'arc de parallèle de la sphère (soit ici l'arc de 16° décrit avec le rayon a sin z) , et des points n et », décrivons des arcs de cercle qui couperont le parallèle aux points cherchés A et A,.
Eu effet Mn est, par construction, égal à.ysin z ou à Ksins, et
puisque CM = a tang z> l'angle MCn est tel que
Ksinz
tang MCn = = K cos 3,
tang z
et par conséquent
tang MCn = tang - ,
ou
MCn = ^.
Par suite
ACM = 0,
et la distance du point A au méridien central est
tang; gin 6,
ce qu'il fallait démontrer (1).
t. Il est facile de trouver le rayon de courbure d'un méridien quelconque de longitude 2K = t à la colatitude r.
On sait que le rayon de courbure p est égal à ~ , dô étant l'angle
de deux normales ou de deux tangentes infiniment voisines. Or, dans la figure 114
C'A' = CA4-CC'cos0-f A A',
A A' = ds ; CC = a tang» zdz , et tang - = K cos s.
. . a . ft , , l + KM-K'sin'z^
( h = a (sec/ : — tang* z cos $)dz = a — ' , , ' - dz,
i -t- K* cos* =
séc* - d - = — K sin zdz;
d'où
6 Ksinz
+ K'cos»; ;
(i) Cette ingénieuse construction a ««te donnf* par M. 0' Rrreli..
donc
i +K» + K , sin t s
K sin z
Cette formule montre que le rayon de courbure est infini au pôle.
Occupons-nous maintenant de la déformation en surface. Comparons pour cela le petit carré compris sur la sphère entre deux méridiens et deux parallèles infiniment rapprochés, et le rectangle correspondant sur la projection. Les côtés du carré sphérique étant lad K sin z et adz, sa surface est 2a* sin z dK dz. Sur la projection nous avons vu que l'élément de courbe méridienne était égal à
l'élément de courbe parallèle est égal à
îad - tangz;
mais puisque tang - = K cos z, on obtient en différentiant sans faire varier z
séc' - d -= cosi.dk,
d'où
dl = dK
2 ~"l+K ï cos , z L'élément de courbe parallèle est donc exprimé par
%dK sin z
! + K* cos* z La surface du petit rectangle est alors égale à
Wsnz(dK.dz) (1+K , CQS , S , •
La surface du rectangle de la cartè est donc à la surface du petit carré correspondant sur la sphère dans le rapport de
i + K'-f- K'sin'j , (1 + K* cos 1 s) a
( H Ai'. XIII. — PROJECTIONS POLYCOKIQlEg. 355
Si nous faisons ce rapport égal à l'unité, il en résulte l'équation K* cos 4 z + 3 K» cos» z — 2 K» = 0,
qui est satisfaite, soit par K = 0. soit par l'égalité
K*cos*z-f 3cos*z — 2 = 0. (E)
On en conclut qu'il n'y a pas d'exagération de surface le long du méridieu central et le long de la courbe particulière définie par l'équation (E). Cette courbe coupe le méridien central à angles droits à la lalitude de 54° A4' environ. A partir de ce point elle s'incline peu à peu vers le sud ; à 90° de longitude elle atteint 50° 26' de latitude, et à 180% c'est-à-dire sur le méridien qui limite le planisphère, elle atteint 43° 46'.
Les surfaces de toutes les contrées situées an nord de cette ligne sont diminuées et les surfaces des contrées situées au sud sont au contraire augmentées. Si l'on représente le globe entier dans ce s\ btènte de projection, ou trouve que l'aire est exprimée par
[(4+^)taug ^ + 2*]a«,
et que la véritable surface de la sphère est ainsi augmeutée dans le rapport de 8 à 6. On trouve aussi que le périmètre de la représentation est égal à la circonférence du globe multipliée par
v 4 + ,r» | ou 2,72.
Ce méridien fait au pôle, avec le méridien central, et de chaque côté, un angle de 115* 2' 16". En résumé, cette projection a l'avantage de conserver les longueurs des degrés sur le méridien central et sur l'équateur, de figurer les parallèles et les méridiens par des courbes très-faciles à construire qui se coupent à angles droits comme sur la sphère, et de permettre de représenter des continents assez \;tstes, tels que les deux Amériques, sans déformation considérable.
Comme ce tracé u'est employé que pour les cartes embrassant une grande portion de la surlace de la terre, il est inutile d'y tenir compte de l'aplatissement. On trouvera dans la table II, employée au War office, les valeurs des rayous des parallèles développés, c'està-dire les côtés des cônes tangents, et des degrés de longitude de
r>:.t; 2« partie. — construction et i sage de» projection*.
chaque parallèle de degré en degré. Cette table est calculée en prenant pour unité le degré de l'équateur supposé égal au degré de méridien ; le rayon de la sphère est alors exprimé par 57,2958. La projection n° XXXVI représente la sphère entière.
3» FIOJECTIOR POLTCORIQOI ORRIHAIRI
Dii Cotut Sarre* O/lee dw ÉUU-irni*.
». Pour tracer le canevas de cette projection, on construit deux
droites rectangulaires dont l'une représentera le méridien central et
l'autre l'équateur ; à partir du point d'intersection on porte sur la
première les longueurs des degrés de latitude calculées dans la
6 e colonne de la table I dans l'hypothèse de l'aplatissement ^qqJ^
et sur la seconde les longueurs des degrés de longitude de l'équateur. A partir de chacun des points de division du méridien central on porte les longueurs des côtés des cônes tangents calculées dans la 8 - colonne de la môme table, et l'on obtient ainsi les centres des cercles qui représenteront les parallèles correspondants. Sur chacun de ces arcs de cercle on porte ensuite les longeurs des degrés de longitude données dans la 7* colonne, puis on fait passer par les points correspondants des cercles qui représentent les méridiens.
On peut, pour plus d'exactitude, calculer la corde de chaque arc de parallèle, mais il vaut encore mieux construire les parallèles par points aussi bien que les méridiens, en les rapportant à deux axes de coordonnées rectangulaires, le méridien central et la tangente à chaque parallèle. Il est très-facile de tenir compte de l'aplatissement de la terre.
Appelons I la différence des longitudes du point considéré M (Og. 115) et du méridien central, / la latitude de ce point, Ô l'angle correspondant sous-tendu au centre C du parallèle par l'arc OM. On aura
arc OM = t N cos / = 6C = QN cotang /,
d'où
* = /sin/,
CHAV. XIII. — l'RUJKCTIOMS l'OLYCOMQLKS. V,7
ei alors
. , «colang/ x = C sin 8 = 2 — - sin 0,
(I— e'sin 1 /)'
2acotang/ . ,6
(1— e'sin'/) 1
Les valeurs en mètres des coordonnées x et y pour 30° de longitude sur chaque parallèle de 1° à 5A* de latitude ont été calculées au Coast survey office (bureau de l'hydrographie) des États-Unis et publiées par ce bureau (1 ) ; nous ne les reproduisons pas, mais nous donnons ici une table des valeurs des rayons des parallèles de 10° en 10*, des longueurs des arcs de 10* de longitude et des coordonnées x et y des extrémités de chacun de ces parallèles entiers développés, en prenant pour axes la tangente au milieu de chaque parallèle et le méridien central; cette table, qui permet de construire très-facilement la projection poly conique de la surface entière du globe, est calculée en prenant le rayon de la sphère pour unité ; elle suppose donc au méridien central une longueur de 5,1416 d'un pôle à l'autre (2). Dix degrés de latitude ont pour longueur 0,17158.
Nous donnons aussi les valeurs de l'angle 0 sous-tendu au centre de chaque parallèle par dix degrés de longitude et calculées d'après la formule
G = / sin/.
Cette table rendra très-facile la construction de toute projection polyconique ordinaire, même en tenant compte de l'aplatissement de la terre ; lorsqu'on aura décrit les cercles de latitude, on déterminera les méridiens par points beaucoup plus exactement qu'on ne pourrait le faire en portant à la suite les unes des autres les longueurs des degrés de longitude, car on évitera ainsi l'erreur que l'on commettrait en remplaçant l'arc par sa corde.
La projection n - XXXVII représente la sphère entière.
(I) Report of the Superintendeni of the Coast Survey during the year 1859, Washington. 1860, ln-4, p 330 à 358. Appendice n* 33 : Tabfes for projecting maps of large extent, arranged by J. E. Hiigard, aisistnnt, f/. S. C. S.
(î) Report ofthe Superintendeni ofthe Cnost Survey, during the yettr |R5«; Afpendice «• 5S by assistant J. E. Hifgnrd.
558 2 e partie. — «wstrlctioï» it osagb des piiojections.
Table pour le développement polyeoniquc de la ophère entière.
LATITUDE
LONGUEUR de 10"
lie di icic*
