MÉTHODE DES COEITICIEIITS INDÉTERMINÉS

18. Nous avons traité de la manière la plus générale, dans ce qui précède, la question de la représentation du sphéroïde sur un plan, sous la condition de la similitude des éléments infiniment petits, et nous avons donné différentes méthodes qui permettent de traiter très-simplement quelques cas particuliers.

Il est une autre méthode, aussi très-générale, qui permet d'arriver aux mêmes résultats, et, dans des cas particuliers, d'une manière assez simple : je veux parler de la méthode des coefficients indéterminés.

On sait que toute fonction y de deux variables indépendantes t et J peut être exprimée par une série continue de la forme

-fC'T

dans laquelle les coefiicients A, B,C... V, B'. . . A". . . peuvent être déterminés lorsque l'on connaît un nombre suffisant de valeurs de y ou de ses dérivées successives pour des valeurs données de t et de l.

Nous allons appliquer cette méthode pour obtenir, dans le cas de la similitude, des expressions convenables des coordonnées x et y des points de la carte qui correspondent aux points de la sphère ayant pour longitude l et pour colatitude z = 00° — /.

Mais d'abord cherchons à mettre en équations les conditions du problème.

Soit (fig. 13) PA le méridien dont la longitude est f, MB un parallèle dont la latitude est /. Soit sur le parallèle PM, M" le point dont la longitude est t + df, et sur le méridien PA, M' le point dont la latitude est l—dl.

La première condition du problème est que l'angle M"MM' soit

(I) Le mémoire de Lambert étant de 1772 et celui de Lagrange de 1781 seulement, le mérite de l'invention semble d'abord appartenir de droit au premier; mais commo la marebe suivie par le second et les résultats auxquels il est parvenu constituent un travail beaucoup plus complet et lui sont évidemment propres, nous continuerons à désigner cette projection sous le nom de projection de Lagrange.

66 1" PÀ1TIB. — TIIÊ0R1B DES PROJECTIONS.

droit, par suite que les triangles rectangles Mm"M w , Mro'M' soient semblables ; de plus, pour que les degrés de longitude et de latitude conservent entre eux le môme rapport que sur la sphère, on doit avoir

MM' dl MM"~^ çosT

et par conséquent

Mm" dy" dt cos/ M'»*" dx' dtoosl

ÎR" ~ d? - ~1Û~' 6 MV" dy' ~ dl'

Or x et y étant fonctions de J et I, on a généralement

Pour un môme méridien, t étant constant, dt = 0, donc

- rfr' = ^ rf/, et dy' = ®

Pour un même parallèle

rf*^£<fc et

Les deux équations de condition sont donc

^ = -^cos/, et ^ = ^cos/ dt dl 9 dt dl

Ces équations sont nécessaires et suffisantes, car on voit facilement que si les valeurs de x et de y satisfont à ces équations, les angles d'intersection seront droits et les éléments proportionnels.

Parmi toutes les formes de séries infinies que l'on peut adopter, Lambert (1) remarquant que, d'après les équations de condition,

~ et ^doivent être multipliés par cosJ, pensa que la forme la al dl

plus convenable est

(1) Entwerfang der Charten... Met. VI, p. 158.

C1IAP. II. — PROJECTIONS OHTHOMORPHES.

y = A + K< +Cf" +

-j-A'sirW + B7sin/ + C7" +

-f- A" sin 2/ B'7 sin 2/ + CV sin 2/ +

-f A* sin 3/ + B'V sin 3/ -f C"7' sin 3/ +

x = a + -fa' cos/ + 47 cos/ -j-e'/'cos/ -}-.

-fa"cos2/-J-/»'7cos/ -f-c'7«cos/ + .

■+ a"' cos 3/ + b" t cos 3/ -f C'7 1 cos 3/ -f- . + ...• + .... + +

Si l'on différentie a; et y séparément par rapport à l et par rappor

djc du à f, que l'on multiplie -- par cos/. ainsi que ,on trouve que pour

satisfaire aux deux équations de condition quelles que soient les valeurs de / et de t. on doit avoir

b =jA'

c" = \ (B'+.iB'")

rf" = J. {C+3C')

= J (3A w +oA')

rf" = J(2C"+5C)

môme

La loi de la formation de ces termes est très-simple. On voit ainsi que

les b dépendent des A

les

B et par conséquent des a

b et par conséquent des A

et ainsi tous les coefficients dépendant de a et de A.

On trouve ainsi :

b =\{ +A') b' ={[ -f-2A") 6" ={(A'+3A"] r = £(2A"-f 4A") ^^(SA^-f-SA')

B = «( +«') B'=i( +2a") B" = {(a'-f 3a w ) B w = J(2a"4-4a") B" = i(3a w +5fl')

** = i A'-'+^-f-i) A** 1 ] B* = { [(*-!) «*-i+(*+|) fl »*ij.

On trouve de même :

C = 1 [ (A-i ) b"~ 1 + (A-f-t ) b^] = i[ (ifc — fl ) (A-2) A M +^«À»+(*+«)(*+*)A M l. d»= i [(A-i) C" +(*+ 1) C"] = ^

et ainsi de suite.

14. Nous allons, avec Lambert, considérer un cas particulier où cette méthode se simplifie beaucoup.

Représentons (fig. 13) le méridien du milieu de la projection par une droite sur laquelle nous porterons les degrés égaux de latitude, l'équateur par une seconde droite perpendiculaire à la première, et les méridiens et les parallèles par des courbes se coupant à angle droit, de manière que les degrés de longitude conservent leur véritable rapport avec ceux de latitude. Cherchons quelles doivent être les valeurs de x et de y en fonction de ( et de l.

En prenant pour axes des coordonnées le méridien moyen et l'équateur, on voit que, la ligure étant nécessairement symétrique par rapport à ces axes, y devra être exprimé par des puissances paires de t et impaires de l t et x par des puissances paires de / et im-