X- logsins, — logsin z 0 logtang^ — logtang

Le rayon restera évidemment arbitraire et ne dépendra que de l'échelle de la carte, c'est-à-dire de la grandeur à donner au réseau.

(1) La Société de géographie de Saint-Pétersbourg a choisi cette projection, en lai attribuant la dénomination de « projection de Gauss, » pour la belle carte de la Russie européenne en douze feuilles, qu'elle a publiée en 1862. Les deux parallèles dont les degrés conservent leur véritable rapport sont ceux de 46° et 58*, les latitudes des parallèles extrêmes étant 36» et C8«\

Sous le parallèle moyen, qui est celui de 52*. le degré subit un retrait qui le réduit à 0,00i de sa valeur réelle, tandis que sous les parallèles extrêmes il éprouve une dilatation qui le porte à 1,031 et à 1,0-10. Des échelles variables en verstes accompagnent la graduation des latitudes sur les bordures d'encadrement de chacune des douze feuilles de la carte. Le méridien moyen est celui de 10* a l'est de l'observatoire de Saint-Pétersbourg situé à 27« 50' 31" à l'est du méridien de Paris.

Avant de quitter ce sujets disons que toutes les fols r^tre X est plus . petit que l'unité, on peut plier la projection entière en forme de globe pour en faire des tontgiôbts dont l'usage était plus répandu autrefois qu'il ne l'est aujourd'hui, et la projection rentre alors dans la classe générale des projections coniques ; elle peut être regardée comme le développement d'un cône ayant son sommet sur l'axe des pôles du globe, et coupant le sphéroïde suivant deux parallèles qui seront développés sur la carte en véritable grandeur, la position de ces parallèles, c'est-à-dire la connaissance de leurs colatitudes z 0 et r, définira la valeur du rapport X qui est égal au sinus du demi-angle au sommet de ce cône. Nous aurons occasion, en traitant des projections coniques (1), de reparler de ce système, que nous désignerons, ainsi que la fait M. d'Avezac, sous le nom c\e projection conique orthomorphe de Lambert (2).

ETUDE DIRECTE EES PbOJECTIOÏTS OrTHOMOBPHES A fflCBIDÏtlCS ClBCCLAlCES.

f*. Nous avons traité avec détail aux §g S, 10, 11, le cas particulier où les méridiens sont des droites passant par le centre tommun à tous les parallèles ; nous allons maintenant traiter, ainsi que l'a fait Lambert (3), le cas général où les méridiens sont des cercles se coupant sous des angles X fois plus grands ou plus petits que les véritables , les parallèles d'autres cercles coupant les premiers à angles droits, de manière que le rapport des degrés (le longitude et de latitude soit le même sur la carte que sur la sphère.

Soient (fig. 12) P, F les pôles, PV' un méridien représenté par une droite et à partir duquel on compte les longitudes ; GO perpendiculaire sur le milieu de PP' sera le lieu des centres de tous les mériihens; soit dt la différence des longitudes des deux inondions infiniment voisins PCP', et PMP' dont 0 est le centre.

L'angle MPC doit, par hypothèse, être égal à Idt. Posons CP = 1 ; alors

MC = tang(iXrfO = i>^.

(1) Voir plus loin, chap. VI, § 9.

(2) Signalons, en terminant, l'étude que sir J. F. W. Hf.hschel a faite de cette projection dans un travail inséré dans the Journal of the royal yeographical Society, volume the thirtielh, London, 18(10, pages 100-10G, où l'auleur cherche les conditions sous lesquelles une sphère peut être projetée sur un plan de manière que la représentation de toute portion infiniment petite de la surface soit semblable de forme à la portion originale.

(3) Entwerfung der Charlen... gect. V, p. 144.

CHAP. II. — PROJBCtlOHS OETHOlORPHfeS. t*

De môme

CO=:cotangXrf/ = ^.

Soit s la colatitude d'un point quelconque B du méridien PCP'. Posons BG = x et soit B6 = — dx. On a d'abord

donc

AB=;X<//(i — x*).

Pour que les degrés de latitude gardent leur rapport exact avec ceux de longitude, on devra avoir

AB dts'inz M~ dz '

et par conséquent

~2 ix ~~ Hz '

d'où

sin z ~~ \ — x* '

Posons x — cos cp ; on aura

\dz 2</<?

sin 5 sin?'

et en intégrant,

^ X log tang |l = log tang i «p.

la constante € est arbitraire et permet d'assujettir le problème à une condition de plus. Déterminons-la, par exemple, par la condition que x = 0 et par suite ? = 90° lorsque t — z e , z 0 étant la colatitude du parallèle donné qui devra ainsi être représenté par une droite. On voit alors que

C = cotang ~ ,

et il en résulte

^cotang ^ tang 0 =tang*|;

et comme

i— tang« \ 1+tang» \

on a enfin la formule

i — (cotang | tang 0* %

i + (cotang | tang |) * (tang ^ * (cotang 0 + 1.

Le rayon p de chaque parallèle est exprimé par

AD = AB cotang ADB = AB cotang A OC,

On voit que

Pour s = 0, # = + 1 et pour a = 180% x = — 1, ce qui montre que les deux pôles sont également distants du centre. Il en résulte que les degrés des deux côtés de l'équateur deviennent inégaux entre eux et que le tracé est moins régulier que lorsque z # =90*, car alors la formule devient

(cotang ^ X +*

et, dans ce cas, l'équateur est représenté par une droite perpendiculaire sur le milieu de PF.

Les formules précédentes montrent l'identité de cette projection avec celle que nous avons étudiée longuement sous le nom de projection de Lagrange. (Voir les 6 et 7 de ce chapitre.) La constante que nous avions appelée 2c est la même que celle que nous représentons ici par X et indique le rapport dans lequel sont réduits les angles des méridiens entre eux. Mous avons vu comment Lagrange a su augmenter les avantages de cette projection en profi-