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70 1" PARTIB. — THÊORIB DBS PROJECTIONS.

En groupant les coefficients des mêmes puissances de f, on peut écrire

; . 1 a/* . *sin2/-f3sin4/ 34sin^f60sini/+30sin 6/ y = / + -s.n2H +— ï: f + 4.8.12.1.3.5 '

496 sin 2/ -f 1 51 2 sin M -f 4 620sin 6/ + 630 sin 8/ , + 4.8.12.16.1.3.5.7

, , cos / + cos 3/ . . 4cos/ + 10cos3/-|-6cos5/ .

« = + 4.1.3 '+ UÂH '

34cos / + iS^cos 3/ + 210CQS 5/ + 90cos 7/ f + 4.8.12.1.3.5.7 +

Groupons maintenant les termes en sin 2/, sin Ai, sin 6/... dans l'expression de y, et les termes en cosf, cos 3/, cos 5/... dans l'expression de x ; nous trouverons

y = /- r -sin2/tang l - -f - sin -4/ tang'- -f - sin 6/ tang 6 - -f - sin 8 lang' - + •

x= 2 cos / tang 5 + rCOs3/ lang 3 - -f - cos 5/ tang 8 - -f - cos 7/ tang 7 - -f- ..

On trouve enfin, en groupant convenablement les termes :

y = / -|- arc tang

sin 2/ tang 1 5

1 — cos 2/ tang* —

/ 4+2tang^cos/ + tang , £

*=2 log ? r

y i — 2 tang - cos / -f- tang* ou, en posant s = 90°— 7,

y = 90» — z-f arecotang ^cotang2z -f cotang' | coséc2z^ , 4 . /{ + sin zsin A

I= 2 log lr=^ïï7j'

ou plus simplement

(I) cotangy = cosftangz.

.... \ , /coséez + sin A

2 ° Vcosécz — sin//

et de voir que le3 équatioiis de condition

dx

sinz

dt

sont satisfaites.

La formule

i . + sinzsinA x 2 ° g Vl-sinssin/j

montre que x dépend de s de la môme manière que de f, de telle sorte que pour des valeurs telles que z = 40° et t = 60°, on obtiendrait pour x la même valeur que pour le groupe z = 60° et t = h0°. Si l'on fait z = 90°, c'est-à-dire i = 0% on obtient

ce qui montre que les degrés de l'éqùateur comptés à partir du centre

ce qui montre que le méridien distant de 90° du méridien central, est parallèle à l'éqùateur, et que, à partir du pôle, les degrés augmentent sur ce méridien comme les degrés de longitude sur l'éqùateur, ou comme les degrés de latitude dans les cartes marines de Mercator. Comme les parallèles coupent les méridiens à angles droits, ils s'écartent de plus en plus du pôle P (fig. 13) en allant du méridien de départ PC au méridien de 90°, PD ; et, sur ce dernier méridien, ils deviennent parallèles à CP. Au-dessus du méridien PD ils passent par les positions symétriques de celles qu'ils ont occupées au-dessous, de manière à former des ovales dont le demi grand axe

7J l re PARTIE. — THÉORIE DKS PROJECTIONS.

est PD, le demi petit axe PB, et qui s'allongent d'autant plus que la latitude diminue.

Cherchons quelle est l'altération des surfaces dans cette projection. Considérons pour cela la petite surface comprise entre deux parallèles et deux méridiens infiniment voisins. Cet élément peut être évalué par le produit des arcs infiniment petits de parallèles et de méridiens ; or un arc de courbe est exprimé par

ds = \dx* -{-dy**

Formons donc dy et dx à l'aide des formules (I) et (H). Nous trouvons

cos/rf/-f sin/cos/sin/d< 11 ~ 1 — cos'/sin'f ' cos/cos/rff — sinfsin/<//

i — cos'/.siu'f Pour un méridien dl = 0, nous obtenons alors

dl

ds n =

\/l — cos'/sm'/" Pour un parallèle dl = 0, et nous obtenons

dtcosl

ds =

p v'1 — cosVsinV

Le petit rectangle considéré est donc exprimé par

dt dlcosl 1 — cos^sin'f

Le numérateur exprime justement le rectangle correspondant sur la sphère; le rapport d'agrandissement des surfaces est donc

1 — cos'/sin 1 /'

On voit que si t = 0, m" = \ , ce qui montre que l'altération des surfaces est nulle le long du méridien central.

Si donc la carte tracée d'après cette projection ne contient qu'un petit nombre de degrés de longitude , elle jouira des avantages suivants :