CHAT. II. — PROJECTIONS ORTHOMORPHE
1° les angles y seront partout conservés, et par conséquent les méridiens et les parallèles se couperont partout à angles droits ;
2° les degrés de latitude y seront égaux sur le méridien du milieu représentés par une droite, et ceux de longitude, aux environs de ce méridien, ne différeront que très-peu de leur véritable grandeur.
Ce système conviendra donc aux pays tels que l'Amérique qui, peu étendus en longitude, pourront avoir, en latitude, une longueur aussi grande que l'on voudra. L'Afrique aussi se prêtera assez bien à ce genre de projection, en prenant pour méridien central celui de 20° longitude est.
On trouvera dans la table du chap. XII (2 # partie), les valeurs de x et de y pour les valeurs de / et de f, de 10 en 10 degrés. La mappemonde n° IX est construite sur cette projection.
Nous montrerons, en traitant des projections cylindriques (ch. VI, § 26), que ce système peut être considéré comme une projection de Mercator transverse, c'est-à-dire comme le développement d'un cylindre tangent à la sphère le long du premier méridien, sous la condition de conservation des angles. C'est cette considération qui nous fait adopter, pour désigner ce système de représentation, le nom de projection cylindrique orihomorphe de Lambert.
ta. Avant de terminer le chapitre des projections orthomorphes, nous ferons remarquer que lorsque l'on connaît l'une des deux équations de la projection, c'est-à-dire soit la valeur de x, soit la valeur de y, il est facile de trouver l'autre.
Nous avons en effet obtenu au § 13, pour équations de condition nécessaires et suffisantes ,
dy dx , dx du ,
rf7=-rf7 cos/ 81 5? = 5/ cosZ -
11 en résulte que l'on a :
dx = cosldt — ^ — t dl, dl dt cos/
. dx \ dx . .
d *=iiï™i'"-iïï a »""-
Si donc on donne la valeur de x par exemple, on formera g et %
et l'on en déduira la valeur de dy dont l'intégration fera connaître l'équation en y.
74 FA*™. - THÉOBÏH DIS PROJICTIOM.
Ainsi si l'on donne y = /, il est facile d'obtenir car - = ! et ^ = 0i
donc
dx — —
cos/'
et par conséquent
on» /
x = log lang -Z—l .
Nous obtenons ainsi la projection des cartes marines ou de Mercator.
f s. Littrow (1) a considéré la projection dont Tune des équations
est
n , x = log /cos/.
On en déduit
dx
donc
^=-lan B /.in< et d -l = ^îL.
dt 8 dl cos»/»
rf (sin /sin/rf/ -f cos / cos M/)
cos'/
dont l'intégrale est
sin/
* cos/'
de sorte que les équations de cette projection sont
x = tang/cos/ et v = — ..
cos/
En éliminant soit /, soit \ t on obtient pour équation des parallèles et pour équation des méridiens
y , sin t 7-f* , = tang l / t y'cos»/ — x 8 sin J / = sin* / cos*/.
Ces deux équations représentent, la première des ellipses, la seconde des hyperboles, dont le centre est à l'origine des coordonnées et dont le grand axe est dans l'axe des y.
(1) Chorographie von Littrow, p. M 2, Vienne, 1833.
C1AP. II. — PROJECTIONS ORTnOMORPnES
NOTE
SUE LA COHSTRUCTIOH SES CABTES GÉ0CHAFHIQBE3,
Par M. Tciiébychet, Lnf, le 18 janTier 1853, à l'Académie impériale de« sciences de Saint-Pétersbourg.
19. tt Dans la construction des cartes géographiques, on parvient facilement à reproduire la figure d'une partie quelconque de la surface du globe de manière qu'il y ait constamment similitude entre ses éléments infiniment petits et leur représentation sur la carte. Mais le rapport d'agrandissement de différents éléments n'ayant pas la même valeur, les portions finies de la surface du globe, dans leur représentation sur la carte, se déforment plus ou moins, suivant les déviations de ce rapport de sa valeur normale, et comme ces déviations, dans les différents systèmes de tracé des cartes, présentent des valeurs plus ou moins considérables, on conçoit qu'il existe un système qui, dans la représentation d'une portion donnée de la surface du globe, réduit ces déviations au minimum, et par conséquent représente sa figure le mieux possible. C'est de la détermination de ce système de tracé des cartes que nous allons nous occuper. La question que nous aurons à résoudre présente une grande analogie avec celles qui ont été l'objet de notre mémoire intitulé : Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes (Mémoires des savants étrangers, t. VII), où nous avons cherché, par un choix convenable des constantes d'une fonction donnée, à diminuer, autant que possible, ses déviations d'une autre fonction, pour toutes les valeurs de la variable, comprises entre des limites données. Sous la condition d'un minimum de cette espèce, nous aurons à présent à chercher une fonction à deux variables, assujettie à vérifier une certaine équation aux différentielles partielles. Pour simplifier les formules, nous ne tiendrons pas compte de l'aplatissement de la terre, mais la même méthode peut être facilement étendue à toutes les hypothèses possibles sur la forme du globe.
« D'après la notation de Lag range (1), le rapport d'agrandissement s'exprime ainsi
(1) Voi>etaap.3,§*.
7tS 1» PARTIS. — THÉORIE DES PROJECTION».
ce qui donne
log m = \ log [F (« + 1 V^ï)] + ? log [F'(« - f v - » '1 - log .
où la partie positive, composée des fonctions arbitraires, n'est évidemment que l'intégrale de cette équation
dû* + dt*~ "
Donc, les écarts du rapport d'agrandissement dépendent des dévia-
tions de la fonction log ^ ^ g u et dé l'intégrale de cette équation.
Or d'après les propriétés remarquables de cette équation , on parvient à reconnaître que le minimum de déviation de son intégrale de
la fonction log glt ^ e ^„ dans l'espace limité par une courbe quelconque, ne peut avoir lieu à moins que la différence
U-log
sur cette courbe, n'ait constamment la môme valeur. « Donc par l'intégration de l'équation
du* + dt*~~ * sous cette condition, on aura la valeur de
U = \ [F'(« + tf^l)] + \ log[F'(n - 1 v/=r,)],
à une constante arbitraire près, et de là on tirera les valeurs des fonctions
qui, à un facteur constant près, seront celles qui donnent la projection la plus avantageuse. Quant à leur facteur constant, qui reste
CHÀP. II. — PROJECTIONS ORTHOMORPHES. 77
inconnu, il se détermine facilement d'après la valeur normale du rapport d'agrandissement.
« D'après cela on parvient facilement à assigner tous les cas dans lesquels on peut parvenir à la projection de la carte la plus précise, en prenant pour les méridiens et les parallèles des arcs de cercle. Dans son Mémoire Lagrange a montré que, dans toutes les méthodes qui jouissent de cette propriété très-importante pour la pratique, le rapport d'agrandissement s'exprime ainsi :
- [aV e - -f 2«6 cos 2c(* — g) + Pr*"]
« Donc, d'après ce que nous venons de dire, ces méthodes de projection ne peuvent donner la représentation la plus précise d'un pays quelconque, à moins que sur les bornes de ce pays on n'ait
log m = — log j gM ^ e -. [ q,e ' f "+ 2aôcos2c(r— fX+.aV 8 *! j = Consf,
ou, ce qui revient au même,
( logm=-log-^-^-log (û^+'t'^V^+fc-^'-riV^) (I) / e 4-e
= ConsL\
« Pour simplifier cette équation, nous transformerons les coordonnées, en prenant le point où log m devient minimum pour le pôle, et pour premier méridien celui qui passe par le pôle primitif. Soit f e et 90* — z 0 la longitude et la latitude de ce point, et convenons de désigner par T et 90°— Z la longitude et la latitude dans le nouveau système des coordonnées. Si l'on observe que, d'après la notation de
Lagrange que nous employons , u désigne log ^tang |^ , 90* — s
étant la latitude relativement au premier pôle et * la longitude, on parviendra facilement à ces équations très-simples :
__ tang^-ftang - e
=tang-e' v = — —e" ;
1— tang^tang-e
z Z tvCÎ
i— /- tang-' + tang-e
* , 2 o, Z -TV-»
i-tang-°tang-e
En portant ces valeurs dans l'équation (I), et en remarquant que
log m devient minimum pour Z = 0, nous trouvons que cette équa-
lion, aux quantités de l'ordre tang» — près, devient
i-Z^ (cos«T-sm'T)lang« | + tang' | = t~;
et, comme dans la projection stéréographique, à un facteur constant près, on a
Z Z x = tang - sinT , y = tang-cosT;
ces équations nous donnent
.in^ + tf-l ^ .i B ^- 4C + l = jj^.
« Donc si l'on cherche la projectiond'un pays assez petit, en prenant pour les méridiens et les parallèles des arcs de cercle, la projection ne peut s'approcher notablement de celle de la plus précise, à moins que ses limites, dans leur projection stéréographique, aux quantités
de l'ordre tang* -± près, ne vérifient cette dernière équation, et par
conséquent ne présentent une courbe du second degré qui sera évidemment une ellipse, car cette courbe doit être fermée.
« D'après l'équation précédente, on voit qu'un des axes de cette ellipse suit la direction du méridien et que leur rapport est égal à
sin f s 0 — 4c* 4- i sin^j-h Ac*—i'
« Donc, s'il s'agissait de projeter une portion de la surface du globe, limitée par une pareille courbe dont les axes sont en rapport de 1 : n, l'exposant de projection serait déterminé ainsi
CIIAP. II. — PROJECTIONS ORTHOMOKPHES. 79
« Cette équation nous montre qu'il existe une liaison intime entre la configuration d'un pays et la valeur la plus avantageuse de l'exposant pour sa projection.
« D'après les équations dont nous venons de parler, quelle que soit la forme du pays, on peut déterminer et le centre de projection et la valeur de l'exposant, de la manière la plus avantageuse pour la précision de la carte. C'est ce que nous nous proposons de montrer dans un Mémoire détaillé sur la construction des cartes géographiques. »
